zadaniazmatematyki

zad. 25 Jesli a=log9 18 i b=log9 6, to wartość wyrażenia a-b jest równa: A. 1/2, B. 3, C. 6, D. 12. a= log9(18) b=log9(6) a - b = log9(18) - log9(6) = wykorzystuję odpowiedni wzór na różnicę logarytmów = log9(18 : 6) = log9 (3) = x 9^x = 3 (3^2)^x = 3^1 3^2x = 3^1 2x=1 x=1/2 odp A

6. Wpłaciliśmy na lokatę 10 000 zł. Po dwóch latach stan lokaty wynosi 10609 zł. Oblicz oprocentowanie lokaty, jeżeli jest to lokata roczna. NIE UWZGLĘDNIJ PODATKU Ko = 10 000 n=2 K = 10 609 K = Ko (1 + p/100)^n 10 609 = 10 000(1 + p/100)^2 10609 : 10000 = (1+p/100)^2 1,0609 = (1+p/100)^2 pierw[ 1,0609) = 1 + p/100 1,03 = 1 + p/100 1,03 - 1 = p/100 0,03 = p/100 0,03 * 100 = p p= 3%

5. Wpłacamy na lokatę kwartalną 12 000 zł. Oprocentowanie tej lokaty wynosi 6%. Oblicz stan lokaty po upływie roku. Uwzględnij 20% podatku od odsetek. czy oprocentowanie 6% jest w skali roku ?

4. W ciągu geometrycznym: S3=78, q=1/3 oblicz S4 S3 = 78 q = 1/3 S3 = a1 * (1-q^3)/(1-q) 78 = a1 * (1 - (1/3)^3 )/(1-1/3) 78 = a1 * (1 - 1/27)/(2/3) 78 = a1 * 26/27 * 3/2 78 = a1 * 13/9 78 * 9/13 = a1 a1 = 54 S4 = a1 * ( 1-q^4)/(1-q) S4 = 54 * (1 - (1/3)^4)/(1-1/3) S4 = 54 * (1 - 1/81)/(2/3) S4 = 54 * 80/81 * 3/2 S4 = 80

3. Oblicz sumę: 8+4+2+1+1/2+ ... +(1/2)5(do 5 potęgi) 8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + ... + (1/2)^5 jest to ciąg geometryczny a1=8 a2=4 q= a2 : a1 = 4 : 8 = 4/8 = 1/2 an = (1/2)^5 an = a1 * q^(n-1) (1/2)^5 = 8 * (1/2)^(n-1) /: 8 (1/2)^5 * 1/8 = (1/2)^(n-1) (1/2)^5 * (1/2)^3 = (1/2)^(n-1) (1/2)^8 = (1/2)^(n-1) 8 = n-1 n=9 Sn= a1 * (1-q^n)/(1-q) S9 = 8 * (1 - (1/2)^9 )/(1-1/2) S9 = 8 * (1 - 1/512)/(1/2) S9 = 8 * 511/512 * 2/1 = S9 = 511/32 = 15 i 31/32

2. Oblicz wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego: x, 3x-4, -x+4 x, 3x - 4, -x+4 gdy mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego a,b,c to możemy wykorzystać własność b/a = c/b (3x-4)/x = (-x+4)/(3x-4) na krzyż mnożymy (3x-4)(3x-4) = x(-x+4) 9x^2 - 12x - 12x + 16 = -x^2 + 4x 9x^2 - 24x + 16 + x^2 - 4x = 0 10x^2 - 28x + 16 = 0 /:2 5x^2 - 14x + 8 = 0 Delta=(-14)^2 - 4 * 5 * 8 = 36 pierw(Delta)=6 x1=(14-6)/10 = 8/10=4/5 x2=(14+6)/10=20/10=2 gdy x=4/5 to : x, 3x - 4, -x+4 x=4/5 3x -4 = 3 * 4/5 - 4 = 12/5 - 4 = 12/5 - 20/5 = -8/5 -x + 4 = -4/5 + 4 = 3 i 1/5 = 16/5 gdy x=2 x=2 3x - 4= 3 * 2 - 4 = 2 -x+4 = -2 + 4 = 2

1. W ciągu geometrycznym a3=60, a5=15 oblicz a4 a3 = 60 a5 = 15 a3 * q^2 = a5 60 * q^2 = 15 /: 6- q^2 = 1/4 q=1/2 lub q=-1/2 a3 * q = a4 60 * 1/2 = a4 a4 = 30 lub 60 * (-1/2) = a4 a4=-30

oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego ABCD, którego dłuższa podstawa AB ma długość 24cm, ramię 4pierw(3) cm, a kąt ostry miarę 30 stopni rysunek do zadania : http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/d369450e1844b2c8.html sin(30) = h/4pierw3 1/2 = h/4pierw3 2h = 4pierw3 h=2pierw3 cos(30) = x/4pierw3 pierw3/2 = x/4pierw3 4 * 3 = 2x 2x = 12 x=6 y=24 - 2x = 24 - 2 * 6 = 12 Obw = 4pierw3 + 24 + 4pierw3 + 12 = 8pierw3 + 36 P=(24+12)/2 * 2pierw3 = 36 * pierw3 = 36pierw3

dany jest romb o boku a=13 i krótszej z przekątnych d_1=10 a) oblicz pole rombu b) oblicz sinus kąta ostrego tego rombu a=13 d1 = 10 najpierw obliczę d2 : przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym zatem : (1/2 d1)^2 + (1/2 d2 )^2 = a^10 5^2 + (1/2 d2)^2 = 13^2 25 + 1/4 d2^2 = 169 1/4 d2^2 = 144 d2^2 = 576 d2 = pierw(576) d2 = 24 P=1/2 * d1 * d2 P=1/2 * 10 * 24 = 5 * 24 = 120 sin(alfa) = h/a czyli obliczam h : P=a * h 120 = 13 * h h=120/13 sin(alfa) = 120/13 : 13 = 120/13 * 1/13 = 120/169

wykaż, że wartość wyrażenia W jest liczbą całkowitą, jeśli: W = 8 * ( sin30stopni + cos45stopni)^3 - (tg60stopni - tg45stopni)(tg60stopni + tg45stopni) - 5pierw(2) W = 8 * (sin30 + cos45)^3 - (tg60 - tg45)(tg60 + tg45) - 5pierw2 = 8 * (1/2 + pierw2/2)^3 - (pierw3 - 1)(pierw3 +1) - 5pierw2 = 8 *[ (1/2)^3 + 3 * (1/2)^2 * pierw2/2 + 3 * 1/2 * (pierw2/2)^2 + (pierw2/2)^3 ] - [ (pierw3)^2 - 1^2 ] - 5pierw2 = 8 * [ 1/8 + 3 * 1/4 * pierw2/2 + 3 * 1/2 * 2/4 + 2pierw2/8 ] - (3-1) - 5pierw2= 8 * [ 1/8 + 3pierw2/8 + 6/8 + 2pierw2/8 ] - 2 - 5pierw2= 1 + 3pierw2 + 6 + 2pierw2 -2 - 5pierw2 = 5

zad.5 Przedział < -4 ; donieskończ. ) jest zbiorem wartości funkcji : A. y=x^2 - 4, B. y=x^2 + 4, C. y=(x - 4)^2, D. y=(x + 4)^2. wiadomość do ,, zadaniazmatematyki'' . Proszę o rozwiązanie będę bardzo wdzięczny < -4, nieskończoność) to zbiór wartości w funkcji kwadratowej na zbiór wartości ma wpływ zawsze q zatem q= -4 odp A

zad.6 Zbiorem rozwiązań nierówności x^2 < lub równe 3 jest : A. (-nieskończ.;pierw.3), B. (-pierw.3;pierw.3) C. < -pierw.3;pierw.3 > D. (-nieskończ.;-pierw.3 > U < pierw3;donieskończ.). x^2 < = 3 x^2 - 3 < = 0 x1 = pierw3 x2= -pierw3 rysujesz oś, zaznaczasz na niej miejsca zerowe, kropki są zamalowane, rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry i interesuje nas to < 0 czyli pod osią x należy < -pierw3, pierw3 > odp C

zad.10 Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, w którym a1= pierw2 i a10pierw2. Niech S10 bedzie sumą dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wówczas: A. S10 < 50pierw,2, B. S10=50pierw2, C. S10+55pierw2, D. S10 > 55pierw2. a1= pierw2 a10 = pierw2 S10 = (a1 + a10)/2 * 10 S10 = (pierw2 + pierw2)/2 * 10 S10 = 2pierw2/2 * 10 S10 = pierw2 * 10 S10 = 10pierw10 odp A

zad.11 Środkiem okręgu o równaniu (y+2)^2+(x-1)^2-16=0 jest punkt: A. S(1,-2), B. S(-1,2), C. S(2,-1) D. S(-2,1). (y+2)^2 + (x-1)^2 - 16 = 0 (x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 wzór (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 gdzie S(a,b) jest środkiem zatem tylko odczytujemy a=1 b=-2 S(1,-2) odp A

zad.16 Prosta y=-2x+5 jest prostopadła do prostej: A. y=-2x+1, B. y=-1/2x+5, C. y=1/2x+3, D. y=2x+7. w prostych prostopadłych współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi y=-2x+ 5 współczynnik kierunkowy to -2 zatem liczbą przeciwną i odwrotną będzie 1/2 zatem odp C

zad.21 Wszystkich liczb trzycyfrowych, wktórych zapisie występują tylko cyfry: 7,8,9, jest: A. 6, B. 9. C. 27, D. 64. trzycyfrowe, w których zapisie występują tylko cyfry 7,8,9 czyli mogą się powtarzać zatem cyfrę jedności wybieramy spośród 7,8,9 czyli na 3 sposoby, podobnie cyfrę dziesiątek na 3 sposoby, tak samo cyfrę jedności zatem tych liczb jest : 3 * 3 * 3 = 27 odp C

tak dokładnie, dlatego piszę nawias by było jasne co dokładnie jest pod pierwiastkiem

w rownoleglobok o przekatnych dlugosci 20 i 12 cm wpisano romb (kazdy wierzcholek rombu nalezy do innego boku rownolegloboku) w taki sposob ze boki rombu sa rownolegle do przekatnych rownolegloboku. oblicz dlugosc rombu. rysunek do zadania : http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/628c91871f37ca31.html niech bok rombu ma długość 2x |DK|/|KN| = |AD|/|AC| |DK|/2x = |DA|/20 20|DK| = 2x |DA| x|DA| = 10|DK| |KL|/|AK| = |BD|/|AD| 2x/|AK| = 12/|AD| 12|AK| = 2x|AD| 6|AK| = x|AD| porównując do siebie x|AD| z obu równań otrzymujemy 10|DK| = 6|AK| |DK|/|AK| = 6/10 = 3/5 zatem mogę zapisać : |DK| = 3y |AK|=5y |DK|/|KN| = |AD|/|AC| 3y/2x = 8y/20 3y * 20 = 8y * 2x 3 * 20 = 8 * 2x x=3,75 2x = 2 * 3,75 = 7,5

Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego dwa boki mają długość 17 cm a trzeci bok 16 cm. Wszystkie krawędzie boczne sa nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym takim, że =2/2. Oblicz wysokość tego ostrosłupa. coś zostało pominięte w treści, bo pisze " pod kątem ostrym takim, że = 2/2 " o co chodzi, bo tu chyba powinna być jakaś funkcja trygonometryczna i raczej nie powinno pisać 2/2 bo to jest 1 po prostu

Zad. 1 Podstawą ostosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC|=6cm i |BC|=8cm. Wysokość tego ostrosłupa jest równa 12 cm. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy. jest to ostrosłup prosty, zatem spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie w podstawie mamy trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej rysunek do zadania : http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/9ec136740a66da76.html obliczam długość przeciwprostokątnej podstawy 6^2 + 8^2 = c^2 36 + 64 = c^2 100=c^2 c=10 zatem R = 5 obliczam długość krawędzi bocznej CS 5^2 + 12^2 = |CS|^2 25 + 144 = |CS|^2 169 = |CS|^2 |CS|=13 cos(alfa) = 5/13

możesz dopisać swoje zadania w każdej chwili, ale rozwiązywać dalej będę dopiero jutro

dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości |BC| = |AC| = 26. Długość wysokości opuszczonej na podstawę AB jest równa 24. Odcinek AD jest wysokością trójkąta opuszczoną na bok BC. Oblicz cosinus kąta DAB rysunek do zadania : http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/e7c154a7de665671.html obliczam długość podstawy AB tego trójkąta (1/2 a)^2 + 24^2 = 26^2 1/4 a^2 + 576 = 676 1/4 a^2 = 100 a^2 = 400 obliczam długość odcinka AD 1/2 * 20 * 24 = 1/2 * 26 * |AD| 20 * 24 = 26 * |AD| |AD| = 480/26 = 240/13 cos(alfa) = |AD|/|AB| cos(alfa) = 240/13 : 20 = 12/13

stosunek długości boków prostokąta jest równy 3:5. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna prostokąta z jego dłuższym bokiem stosunek długości boków prostokąta jest równy 3 : 5 zatem te boki mają długość 3x oraz 5x obliczam długość przekątnej tego prostokąta d^2 = (3x)^2 + (5x)^2 d^2 = 9x^2 + 25x^2 d^2 = 34x^2 d=pierw(34) x sin(alfa) = 3x/pierw(34)x = 3/pierw(34) = 3pierw(34)/34

zad.3 Większa od 1jest liczba: A. 0,01^2*10^3, 0,01^2 * 10^3 = (10^-2)^2 * 10^3 = 10^-4 * 10^3 = 10^-1 = 0,1 < 1 B. 10^-2*0,01, 10^-2 * 0,01 = 10^-2 * 10^-2 = 10^-4 = 0,0001 < 1 C. 0,001:100^-1 0,001 : 100^-1 = 10^-3 : (10^2)^-1 = 10^-3 : 10^-2 = 10^-1 = 0,1 < 1 D.0,01^-2*10^-2 0,01^-2 * 10^-2 = (10^-2)^-2 * 10^-2 = 10^4 * 10^-2 = 10^2 = 100 > 1 odp D

5.Dla jakiego m liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x do 3-2xkwadrat+3x +m W(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + m x=-2 jest miejscem zerowym zatem 0 = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 3(-2) + m 0 = -8 - 2 * 4 - 6 + m 0 = -8 -8 - 6 + m 0 = - 22 + m 22 = m