zadaniazmatematyki

2. Suma kwadratów dwóch liczb jest równa 1872, a stosunek tych liczb wynosi 3/2. Wyznacz te liczby. x^2 + y^2 = 1872 x/y = 3/2 y różne 0 x/y = 3/2 x=3/2 y x^2 + y^2 = 1872 (3/2 y)^2 + y^2 = 1872 9/4 y^2 + y^2 = 1872 13/4 y^2 = 1872 y^2 = 576 y=24 lub y=-24 y=24 x=3/2 * 24 = 36 y=-24 x = 3/2 * (-24) = -36 te liczby to 24 i 36 abo -24 i -36

3. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że długości przyprostokątnych różnią się o 7cm, a jego pole wynosi 30cm^2. y - przeciwprostokątna y > 0 przyprostokątne różnią się o 7cm zatem mają długości x oraz x+7 x > 0 P = 30 cm^2 1/2 * x(x+7) =30 x(x+7) = 60 x^2 + 7x - 60=0 Delta=7^2 -4 * 1 * (-60) = 289 pierw(Delta)=17 x1=(-7-17)/2 = -12 niezgodne z założeniem x2=(-7+17)/2=5 x=5 x+7=5+7=12 5^2 + 12^2 = y^2 y^2 = 169 y=13 Boki tego trójkata to 5cm, 12cm, 13 cm

4. Obwód rombu wynosi 20cm, a różnica długości jego przekątnych 2 cm. Oblicz długości przekątnych rombu. a - bok rombu a > 0 obwód rombu wynosi 20 cm zatem : 4a = 20 /:4 a=5 e,f - przekątne rombu przekątne różnią się o 2 zatem : e - f = 2 e = f+2 e > 2 f > 0 przekątne w rombie przecinają się w połowie pod kątem prostym zatem : (1/2 e)^2 + (1/2 f)^2 = a^2 (1/2 f + 1)^2 + (1/2 f)^2 = 5^2 1/4 f^2 + f + 1 + 1/4 f^2 = 25 1/2 f^2 + f - 24=0 Delta=1^2 -4 * 1/2 * (-24) = 49 pierw(Delta)=7 f1=(-1-7)/1=-8 niezgodne z założeniem f2=(-1+7)/1=6 f=6 e=2+f=2+6=8 przekątne mają długość 6cm i 8cm

inne zadania rozwiążę dzisiaj po południu ;)

równanie x do 3 + 9x = 0 a. nie ma pierwiastków b. ma jeden pierwiastek c. ma dwa pierwiastki d. ma trzy pierwiastki. jak to rozwiązać ? x( x ^2 + 9 ) x=0 v x^2 + 9 = 0 x^2 + 9 = 0 x^2 = -9 to równanie nie ma pierwiastków bo kwadrat nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych zatem zostaje nam tylko x=0 odp B

6x^3+ 6x^2-3x - 3 =0 6x^2(x+1) - 3(x+1) = 0 (x+1)(6x^2 -3) = 0 x+1=0 x=-1 6x^2 -3 = 0 6x^2 = 3 x^2 = 1/2 x=1/pierw2=pierw2/2 x=-1/pierw2=-pierw2/2

Wykaż że jeśli b różne od c i funkcje kwadratowe f(x) = x^2 + (b +1)x+c oraz g(x) = x^2 + (c + 1)x+b mają wspólne miejsca zerowe to b + c + 2 = 0 f(x) = x^2 + (b+1)x + c g(x) = x^2 + (c+1)x + b niech k będzie ich wspólnym miejscem zerowym, wtedy : f(k) =0 g(k) = 0 k^2 + (b+1) k + c = 0 k^2 + (c+1) k + b = 0 /* (-1) k^2 + (b+1) k + c =0 -k^2 - (c+1) k - b = 0 (b+1) k + c - (c+1) k - b = 0 (b+1) k - (c+1) k = b-c (b+1-c-1) k = b-c (b-c) k = (b-c) ponieważ b różne c to mogę obie strony podzielić przez (b-c) k=(b-c)/(b-c) k=1 zatem mamy ich jeden wspólny pierwiastek ;) f(1) = 0 1^2 + (b+1) *1 + c = 0 1 + b + 1 + c = 0 b + c + 2 = 0 co należało udowodnić

2. Na rysunku ( http://www.fotoszok.pl/upload/934bffa0.jpg ) przedstawiony jest wykres f. kwadratowej f(x) = ax^2 +bx +c, gdzie a jest różne od 0. a) Oblicz wartość wyrażenia f(7)/f(-2) możemy z wykresu odczytać miejsca zerowe x1=-3 x2=2 mając miejsca zerowe można zapisać postać iloczynową f(x) = a(x-x1)(x-x2) f(x) = a(x+3)(x-2) f(7) / f(-2)= = [ a(7+3)(7-2)]/ = = [ 10 * 5 ] / [1 * (-4) ] =50/-4=25/-2=-12,5 b) Oblicz wartość współczynników a, b, c wiedząc, że największa wartość funkcji wynosi 25/16 q=25/16 p=(x1+x2)/2 p=(-3+2)/2 = -1/2 y=a(x-x1)(x-x2) y=a(x+3)(x-2) x=-1/2 y=25/16 25/16 = a(-1/2 +3)(-1/2 - 2) 25/16 = a * 5/2 * (-5/2) 25/16 = a * (-25/4) a= 25/16 * (-4/25) a=-4/16 a=-1/4 y=-1/4(x+3)(x-2) y=-1/4 (x^2 + 3x - 2x - 6) y=-1/4(x^2 + x - 6) y=-1/4x^2 - 1/4 x + 1 i 1/2 a=-1/4 b=-1/4 c=1 i 1/2 c) Dla znalezionych wartości a, b, c rozwiąż nierówność f(x) 3x + 10,5. tu brakuje jakiegoś znaku Wyniki: a) -12,5 b) a = -1/4, b = -1/4, c = 1 i 1/2 c) xe i tu masz brak odpowiedzi jak uzywasz symboli < albo > bo wstaw przed tym znakiem i za nim spację to nie utnie tekstu ;)

1. Dane są funkcje kwadratowe: f(x) = -2x^2 + bx + 8 oraz g(x) = bx^2 - 4, b różne od 0. A) Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których funkcja f osiąga największą wartość równą 10. f(x) = -2x^2 + bx + 8 najwieksza wartość czyli q q=-delta/4a Delta=b^2 - 4 * (-2) * 8 = b^2 + 64 q=-(b^2+64)/(-8) q=10 -(b^2+64)/(-8) = 10 (b^2+64)/8 = 10 b^2 + 64 = 80 b^2 = 16 b=4 b=-4 B) Dla znalezionych wartości b, rozwiąż nierówność g(x) > 0 g(x) = bx^2 -4 gdy b=4 : g(x) = 4x^2 - 4 4x^2 - 4 > 0 4(x^2 -1) > 0 x^2 - 1 > 0 x1=1 x2=-1 x należy (-nieskończoność, -1) u (1, nieskonczoność) gdy b=-4 f(x) = -4x^2 - 4 -4x^2 - 4 > 0 -4x^2 > 4 /: (-4) x^2 < -1 kwadrat nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych x należy do zbioru pustego C) Przyjmij b=3, a następnie rozwiąż równanie f(x+1) = 2 - g(x-1) b=3 f(x) = -2x^2 + 3x + 8 f(x+1) = -2(x+1)^2 + 3(x+1) + 8= -2(x^2 + 2x +1) + 3x + 3 + 8 = -2x^2 - 4x - 2 + 3x + 11 = -2x^2 - x + 9 g(x) = 3x^2 - 4 g(x-1) = 3(x-1)^2 -4= 3(x^2-2x+1)-4= 3x^2 - 6x + 3 - 4= 3x^2 - 6x - 1 f(x+1) = 2 - g(x-1) -2x^2 - x + 9 = 2 - ( 3x^2 - 6x -1) -2x^2 - x + 9 = 2 - 3x^2 + 6x + 1 -2x^2 - x + 9 - 2 + 3x^2 - 6x -1 = 0 x^2-7x + 6 =0 Delta=(-7)^2 - 4 * 1 * 6 = 49-24=25 pierw(Delta)=5 x1=(7-5)/2=2/2=1 x2=(7+5)/2=12/2=6 Wyniki: A) b = -4 v b = 4 B) dla b = -4 zbiór rozwiązań nierówności jest pusty; dla b = 4 zbiorem rozwiązań nierówności jest (-oo, -1) u (1, +oo) C) x=1 lub x=6

chyba do tego powinien być jakiś rysunek?

e) 6x^3 - 18x^3 +2 x^2 - 18 = 0 czy napewno dwa razy powinno być x^3 ??

d)2x^7 -x ^4 - x = 0 x(2x^6 - x^3 - 1) = 0 x=0 2x^6 - x^3 -1 = 0 x^3 = t 2t^2 - t - 1= 0 Delta=(-1)^2 -4 * 2 * (-1) = 9 pierw(Delta)=3 t1=(1-3)/4 = -2/4=-1/2 t2=(1+3)/4 = 1 t=1 x^3 = 1 x=1 t=-1/2 x^3 = -1/2 x=pierw(-1/2) x=-1/pierw(2) x=-pierw(4) / 2

c)2x^5+5x^3-12x = 0 x(2x^4 + 5x^2 - 12) = 0 x=0 2x^4 + 5x^2 - 12 = 0 x^2 = t, t > = 0 2t^2 + 5t - 12 = 0 Delta=5^2 - 4 * 2 * (-12) = 121 pierw(Delta)=11 t1=(-5-11)/4 = -16/4 = -4 niezgodne z dziedziną t2=(-5+11)/4=6/4=3/2 t=3/2 x^2 = 3/2 x=pierw3/pierw2=pierw6/2 x=-pierw3/pierw2 = - pierw6/2

a) -5x^4 +3x^3 +14x^2 = 0 x^2(-5x^2 + 3x + 14) = 0 x^2 = 0 x=0 -5x^2 + 3x + 14 = 0 Delta=3^2 - 4 * (-5) * 14 = 289 pierw(Delta)=17 x1=(-3-17)/(-10) = -20/-10 = 2 x2=(-3+17)/(-10) = 14/-10 = -1,4

Zadanko 1. Po dwóch kolejnych obniżkach cen za pierwszym razem o 10% a za drugim o 20% płaszcz kosztuje 360zł. wynika z tego że płaszcz przed pbniżkami kosztował : a. 600zł, b. 500zł c. 400zł d. 20000zł. 1 obnizka o 10% czyli mamy 100-10-90 2 obniżka o 20% czyli mamy 100-20=80 90% * 80% = 0,9 * 80% = 72% 72% - 360 100% - x x * 72 = 360 * 100 x=500 odp B

Zadanko 2. liczbą odwrotną do liczby a = 1 i 2/3 - 1,2 * 9/12 jest : a. - 1 i 7/23 b. 1 i 7/23 c. 23/30 d.- 7/23 a= 1 i 2/3 - 1,2 * 9/12 = 5/3 - 12/10 * 9/12 = 5/3 - 9/10 = 50/30 - 27/30 = 23/30 odwrotna czyi 30/23 = 1 i 7/23 odp B

Zadanko 3. najprostszą postacią wyrażenia pierw a pod pierwiastkiem 5 - 2 pierw 6 * pierw a pod pierwiastekiem 5 +2 pierw 6 = a. 5 - 2pier 6 b. 5 c.2pierw5 d. 1 dlaczego nikt ni używa moich oznaczeń?? pierw * pierw = pierw[ (5-2pierw6)(5+2pierw6) ]= pierw[ 25 - 4 * 6] = pierw(25 - 24) = pierw = 1 odp D

Zadanko 4. Która z liczb ma najwięcej dzielników naturalnych a. 12 dzielniki to 1,12,2,6,3,4 b.50 dzieniki to 1,50,2,25,5,10 c. 60 dzielniki to 1,60,2,30,3,10,4,15,5,12,6,10 d. 110 dzielniki to 1,110,2,55, 5, 22, 10,11 odp C

log przy podst 3 z 73 - 3log przy podstawoe 3 z 2 = a. log 3 (12) b. log3(64) c. log 2 (4) d. log 3 (66) log_3(73) - 3log_3(2) = log_3(73) - log_3(2^3)= log_3(73) - log_3(8) = log_3(73/8) chyba masz jakiś błąd w treści, popraw

Zad1 Dane są 2 pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po 1 kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. 1 pojemnik razem 9 kul białe - 4 czarne - 3 zielone - 2 2 pojemnik : razem 6 kul białe - 2 czarne - 3 zielone - 1 tego samego koloru, więc tu i tu musi być biała albo tu i tu musi być czarna albo tu i tu musi być zielona P(A)=4/9 * 2/6 + 3/9 * 3/6 + 2/9 * 1/6 = 8/54 + 9/54 + 2/54 = 19/54 z ostrosłupem rozwiążę jutro, bo muszę znaleźć jakiś serwer gdzie można wrzucać rysunki

Zad18 Liczba punktów wspólnych okręgu x^2+y^2+4 i prostej x-1=0 jest równa: A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 x-1=0 x=1 x^2 + y^2 = 4 1^2 + y^2 = 4 1 + y^2 =4 y^2 = 3 ma dwa rozwiązania odp C

Zad 17 A jest punktem przecięcia prostej x+2y=4 z osią OX. Odległość punktu A od punktu B(6,2) jest równa: A. pierw2 B. 2pierw2 C. 4 D. 6 x + 2y = 4 przecięcie z osią OX zatem y=0 x + 2 * 0 = 4 x=4 A(4,0) B(6,2) |AB|=pierw[(6-4)^2 + (2-0)^2] = pierw=2pierw2 odp B

Zad 13 suma pięciu początkowych wyrazów ciągu an=(3)/(2^n) jest równa: A. 17/8 B. 37/16 C. 93/32 D. 51/64 an = 3/(2^n) = 3 : 2^n jest to ciąg geometryczny a1=3 : 2^1 = 3:2=3/2 a2 = 3 : 2^2 = 3 :4 = 3/4 q = a2 : a1 = 3/4 : 3/2 = 3/4 * 2/3 =1/2 Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q) S5=a1 * (1-q^5)/(1-q) S5= 3/2 * [ 1 - (1/2)^5 ] /(1-1/2)= = 3/2 * (1 - 1/32)/(1/2)= = 3/2 * 31/32 : 1/2 = 3/2 * 31/32 * 2=93/32

Zad12 Jeśli kąt alfa jest ostry oraz cos(alfa) < 0,5, to: A. alfa < 30 stopni B. alfa=30 stopni C. alfa= 60 stopni D. alfa > 60 stopni cos (alfa) < 0,5 cos(30) = pierw3/2 = w przybliżeniu 0,87 cos(45) = pierw2/2 = w przybliżeniu 0,71 cos(60)= 1/2 = 0,5 jak widać liczby < 0,5 będą dla alfy > 60 odp D

Zad7 Osią symetrii paraboli y= -x^2+6x-10 jest prosta: A. x=-3 B. x=3 C. x=6 D. x=-6 oś symetrii funkcji kwadratowej to równanie x=p p=-b/2a = -6/-2 = 3 x=3 odp B