zadaniazmatematyki

Zadanie.Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60cm^2.Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej.Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta . Wyszło mi że przeciwprostokątna ma 17cm,ale wolę się upewnić : ) P=60 cm^2 x - jedna przyprostokątna x+7 - druga przyprostokątna założenie x > 0 1/2 * x * (x+7) = 60 x(x+7) = 120 x^2 + 7x - 120=0 Delta =529 pierw(Delta) = 23 x1=(-7-23)/2=-30/2=-15 niezgodne z założeniem x2=(-7+23)/2 = 16/2=8 x=8 x+7=8+7=15 c - przeciwprostokątna założenie c > 0 8^2 + 15^2 = c^2 c^2 = 289 x=17

jesli x2+y2=84 i xy=35, to kwadrat sumu x,y jest rowny: a) 6986 b)154 c)109 d)49 prosze o rozwiazanie x^2 + y^2 = 84 xy = 35 (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 84 + 2 * 35= 84 + 70 = 154\ odp B

Uczen przeczytał ksiażke liczącą 480 stron ,przy czym każdego dnia czytał jednakowa liczbe stron.Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron wiecej, to przeczytałby te ksiażkę o 3 dni wcześniej. Oblicz ile dni uczeń czytał te książkę. mamy tu tak jakby dwie sytuację, jedną prawdziwą a druga to takie "gdybanie" x - ilość stron jakie czytał dziennie y - ilość dni, przez które czytał książkę x+8 - tyle stron mógłby czytać dziennie y-3 - w tyle dni mógłby przeczytać książkę najpierw założenia x > 0 i x+8 > 0 x > 0 i x > -8 co daje nam x > 0 y > 0 i y-3 > 0 y > 0 i y > 3 co daje nam y > 3 teraz układ równan x * y = 480 (x+8)(y-3) = 480 zajmuję się na razie drugim równaniem (x+8)(y-3)=480 xy + 8y - 3x - 24 = 480 zauważam, że w pierwszym równaniu było xy=480 podstawiam to 480 + 8y - 3x - 24 = 480 8y - 3x - 24 =0 wyliczam z tego jedną niewiadomą 8y - 24 = 3x /: 3 x = 8/3 y - 8 i podstawiam to spowrotem do równania xy=480 (8/3 y - 8)y = 480 8/3 y^2 - 8y - 480 = 0 Delta=(-8)^2 -4 * 8/3 * (-480) = 5184 pierw(Delta) = 72 y1=(8-72)/(16/3) = -12 niezgodne z założeniem y2=(8+72)/(16/3) = 15 y=15 xy=480 x * 15 = 480 x=32 czytał 15 dni zadania tego typu zawsze rozwiązuj w ten sam sposób ;)

pierw[ [(x1-x)^2 * n1 + (x2-x)^2 * n2 + ... + (x7-x)^2 * n7 ] /7]

Jelena Marković odchylenie standardowe tak samo jak normalnie tylko xi to bedzie środek danej grupy pierw[ [(x1-x)^2 * n2 + (x2-x)^2 * n2 + ... + (x7-x)^2 * n7 ] /7] gdzie x1, x2, ..., x7 - środek tej grupy x - średnia n1, n2, ..., n7 - liczebność tej grupy

liczba 8 do 17 razy 4 do 13 jest równa : 8^17 * 4^13 = (2^3)^17 * (2^2)^13= 2^51 * 2^26=2^77 odp A a. 2 do 77 b. 32 do 20 c. 32 do 221 d. 4 do 47 liczba 2 do 15 + 2 do 15 + 2 do 15 + 2 do 15 jest równa : 2^15 + 2^15 + 2^15 + 2^15 = 4 * 2^15 = 2^2 * 2^15=2^17 odp A a. 2 do 17 b. 8 do 18 c. 2 do 15 d. 2 do 60

w logarytmach wykorzystujemy definicję, czyli log_a (b) = c gdy a^c = b log przy podstawie 16 z 4 = log_16(4) = x 16^x = 4 4^(2x) = 4 2x=1 /:2 x=1/2 log przy podstawie z 0,3 z 3 i 1/3 log_0,3 (3 i 1/3) = x 0,3^x = 3 i 1/3 (3/10)^x = 10/3 (3/10)^x = (3/10)^(-1) x=-1 log z 0,1 log (0,1) = x 10^x = 0,1 10^x = 1/10 10^x = 10^(-1) x=-1 log przy podstawie 8 z 0,5 log_8 (0,5) = x 8^x = 0,5 2^(3x) = 1/2 2^(3x) = 2^(-1) 3x=-1 /:3 x=-1/3 log przy podstawie 5 z 0,2 log_5 (0,2) = x 5^x = 0,2 5^x = 1/5 5^x = 5^(-1) x=-1 log przy podstawie 5 z pierwiastka z 125 log_5 (pierw125) = x 5^x = pierw125 5^x = pierw(5^3) 5^x = 5^(3/2) x=3/2

6) dla jakich wartości rzeczywistych parametru m równanie m9^x+(2m-1)3^x+2-3m=0 nie ma pierwiastków rzeczywistych? m * 9^x + (2m-1) * 3^x + 2-3m = 0 podstawienie 3^x=t, t > 0 m * t^2 + (2m-1) * t + 2-3m = 0 1) f. liniowa m=0 -t + 2 = 0 t=2 spełnia warunek t > 0 a my nie mieliśmy mieć rozwiązań x czyli odpada (bo nie ma rozwiązań gdy t nie spełnia warunku t > 0 ) 2) f. kwadratowa m różne 0 m * t^2 + (2m-1) * t + 2-3m = 0 *** Delta < 0 Delta = (2m-1) -4m(2-3m)= =4m^2 - 4m +1 - 8m + 12m^2= 16m^2 - 12m +1 16m^2 - 12m +1 < 0 Delta=(-12)^2 -4 * 16 * 1 = 80 pierw(Delta)=pierw(80)=4pierw5 m1=(12-4pierw5)/32 = 3/8 - 1/8 pierw5 m2 = 3/8 + 1/8 pierw5 ma należy (3/8 - 1/8 pierw5, 3/8 + 1/8 pierw5) a gdy nie ma rozwiązania na t to tym bardziej nie ma rozwiązania na x zatem to będziemy zaliczać do rozwiazania *** Delta=0 16m^2 - 12m + 1 = 0 m1=3/8 - 1/8 pierw5 m2=3/8 + 1/8 pierw5 ale ten pierwiastek musi być ujemny bądź zero, żeby nie było rozwiązania na x t0 = -b/2a t0 = (1-2m)/m (1-2m)/ m < = 0 (1-2m) * m 0 16m^2 - 12m + 1 > 0 m1=3/8 - 1/8 pierw5 m2=3/8 + 1/8 pierw5 m należy (-nieskończ, 3/8 - 1/8 pierw5) u (3/8 + 1/8 pierw5, nieskoń) ale w takim przypadku oba rozwiązania muszą być ujemne bądź zero t1 i t2 ujemne bądź zero zatem : t1 + t2 < = 0 -b/a < = 0 (1-2m)/m < = 0 m(1-2m) < = 0 m1=0 m2=1/2 m należy (-nieskończoność,0) u < 1/2 , nieskończoność) t1 * t2 > = 0 c/a > = 0 (2-3m)/m > = 0 m1=2/3 m2=0 ma należy (0, 2/3 > oba te warunki muszą być spełnione jednocześnie zatem m należy (-nieskończoność,0) u < 1/2 , nieskończoność) w części wspólnej z m należy (0, 2/3 > = > => m należy < 1/2 , 2/3 > co razem z warunkiem Delta > 0 daje : m należy (-nieskończ, 3/8 - 1/8 pierw5) u (3/8 + 1/8 pierw5, nieskoń) w części wspólnej z m należy < 1/2 , 2/3 > => => m należy (3/8 + 1/8 pierw5, 2/3 > i ostatecznie ze wszystkiego mamy : m należy (3/8 + 1/8 pierw5, 2/3 > lub m2=3/8 + 1/8 pierw5 lub ma należy (3/8 - 1/8 pierw5, 3/8 + 1/8 pierw5) => => m należy (3/8 - 1/8 pierw5, 2/3 >

9) dla jakich m i p parabole określone równaniami y=x^2+(m+2)x+m oraz y=(-m-2)x^2+mx+m+p przecinają oś OX w tych samych dwóch punktach? zatem obie funkcje muszą mieć dwa miejsca zerowe (zatem musi to być funkcja kwadratowa i Delta > = 0 ) y=x^2+(m+2)x+m Delta=(m+2)^2 - 4m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4 m^2 + 4 > = 0 dla m należy do R y=(-m-2)x^2+mx+m+p -m-2 różne 0 -m różne 2 m różne -2 Delta=m^2 -4(-m-2)(m+p)= =m^2 + (4m+8)(m+p)= m^2 + 4m^2 + 8m + 4mp + 8p 5m^2 + 8m + 4mp + 8p > = 0 zostawię ten warunek na razie (tylko końcowe rozwiązania z tym warunkiem sprawdzimy) mają mieć te same x1 i x2 zatem x1+x2 i x1 * x2 też muszą być takie same y=x^2+(m+2)x+m x1 + x2 = -b/a = -m-2 x1 * x2 = c/1 = m y=(-m-2)x^2+mx+m+p x1 + x2 = -b/a = m/(m+2) x1 * x2 = c/a = (m+p)(-m-2) -m-2 = m/(m+2) -(m+2) = m/(m+2) (m+2)^2 = -m m^2 + 4m + 4 + m = 0 m^2 + 5m + 4 = 0 Delta=25-16=9 pierw(Delta)=3 m1=(-5-3)/2=-4 m2=(-5+3)/2=-1 m=(m+p)/(-m-2) dla m=-4 mamy -4=(-4+p)/2 -8 = -4 + p p=-4 m=-4 p=-4 dla m=-1 mamy -1=(-1+p)/(-1) 1=-1+p p=2 m=-1 p=2 oba rozwiązania spełniają warunek tej pozostawionej delty m=-4 p=-4 m=-1 p=2

11) wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których dziedzina funkcji f(x)=log2 nie jest zbiorem pustym i zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich. (m+2) x^2 + (m+5)x - 1 > 0 1) f. liniowa m+2=0 m=-2 (-2+5)x - 1 > 0 3x - 1 > 0 3x > 1 x > 1/3 zgodne z tym, że zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich zatem na pewno w rozwiązaniu będzie m=-2 2) f. kwadratowa m różne -2 (m+2) x^2 + (m+5)x - 1 > 0 warunek będzie spełniony, gdy wierzchołek paraboli będzie w pierwszej ćwiartce, a miejsca zerowe będą dodatnimi liczbami x1, x2 > 0 x1 + x2 > 0 -b/a > 0 b/a < 0 (m+5)(m+2) < 0 m1=-5 m2=-2 m należy (-5,-2) x1 * x2 > 0 c/a > 0 -1/(m+2) > 0 1/(m+2) < 0 m+2 < 0 m < -2 ma należy (-nieskończoność, -2) p > 0 -b/2a > 0 b/2a < 0 (m+5)/(2(m+2) < 0 m1=-5 m2=-2 ma należy (-5, -2) q > 0 -Delta/4a > 0 Delta/4a < 0 Delta=(m+5)^2 +4(m+2)= = m^2 + 10m + 25 + 4m + 8 = m^2 + 14m + 33 (m^2+14m+33)/4(m+2) < 0 4(m^2+14m+33)(m+2) < 0 Delta=64 pierw(Delta)=8 m1=-11 m2=-3 m3=-2 m należy (-nieskończoność, -11) u (-3, -2) wszystkie te warunki dają nam ostatecznie w części wspólnej : m należy (-nieskończoność, -11) u (-3, -2) w części wspólnej z ma należy (-5, -2) w części wspólnej z ma należy (-nieskończoność, -2) = > m nalezy (-3,-2) połączenie obu funkcji (-3,-2) u {-2} = (-3,-2 >

W grupie 10 osob zbadano wzrost poszczegolnych osob i uzyskano wyniki 163; 160; 182;163;170;172;182;163;180;171 cm . Oblicz wartoc srodkowa oraz dominujaca wzrostu osób w tej grupie . Jak zmieni sie dominanta i mediana jezeli do badanej grupy dolaczy jeszcze jedna osoba o wzroscie 190 cm . ustawiamy liczby od najmniejszej do największej : 160, 163, 163, 163, 170, 171, 172, 180, 182, 182 wartość środkowa : mamy 10 elementów, środkowe elementy to 5 i 6 wartość środkowa to średnia arytmetyczna tych elementów : (170+171)/2 = 170,5 dominanta - to wartość występująca najczęściej czyli 163 gdy dołączy osoba o wzroście 190 to będziemy mieli : 160, 163, 163, 163, 170, 171, 172, 180, 182, 182, 190 dominanta się nie zmieni wartość środkowa to tym razem 6 element czyli 171

4 do 3 razy 16 do 1/4 : pierwiastek 5 stopnia z 32 całość podzielić przez 64 do - 3/4 razy 8 5/3 [ 4^3 * 16^(1/4) : pierw32 ]/ [64^(-3/4) * 8^(5/3) ] = [ (2^2)^3 * (2^4)^(1/4) : 2 ] / [ (2^6)^(-3/4) * (2^3)^(5/3) ] = [ 2^6 * 2 : 2 ] / [ 2^(-9/2) * 2^5]= [ 2^6]/= 2^(6-1/2)= 2^(11/2)

zapisz w postaci potęgi liczby 5 PROSZĘ O POMOC, BO DZIWNE WYNIKI WYCHODZĄ MI. 5 do -4/3 : 25 do - 3/2 razy 5 do 2/3 całość podzielić przez 5 do - 3 razy 125 do 2/3 razy 625 do 5/4 [ 5^(-4/3) : 25^(-3/2) * 5^(2/3) ] / [ 5^(-3) * 125^(2/3) * 625^(5/4) ] = [ 5^(-4/3) : (5^2)^(-3/2) * 5^(2/3) ]/[5^(-3) * (5^3)^(2/3) * (5^4)^(5/4) ]= [ 5^(-4/3) : 5^(-3) * 5^(2/3) ] / [5^(-3) * 5^2 * 5^5]= [ 5^(-4/3 + 3 + 2/3 ) ]/ [5^(-3+2+5) ]= [5^(7/3) ] / [ 5^4]= 5^(7/3 - 4) = 5^(-5/3)

a jak masz odpowiedzi do tych zadań to napisz je, nie muszę wtedy sprawdzać czy wszystko jest ok ;)

pozostałe zadania jutro, bo chcę jeszcze posiedzieć na necie a te rozwiązania troszkę czasu i dokładności potrzebują ;)

7) rozwiąż nierówność 5^x + (5^x-5)(5^x+5)/1-5^x > 0 5^x + (5^x - 5)(5^x +5)/(1-5^x) > 0 5^x=t, t > 0 t + (t-5)(t+5)/(1-t) > 0 sprowadzamy do wspólnego mianownika t(1-t)/(1-t) + (t^2-25)/(1-t) > 0 (t-t^2 + t^2 - 25)/(1-t) > 0 (t-25)/(1-t) > 0 1-t różne 0 t różne 1 (t-25)(1-t) > 0 t-25=0 czyli t=25 1-t=0 czyli t=1 t należy ( 1, 25) t=5^x 25=5^x x=2 1=5^x x=0 x należy ( 0,2 )

5) rozwiąż równanie 3^sin^2x=2+3^cos^2x rozumiem, że to jest 3 do potęgi (i teraz w potędze kwadrat sinusa)? 3^(sin^2 x) = 2 + 3^(cos^2 x) korzystam z jedynki trygonometrycznej sin^2 x + cos^2 x = 1 sin^2 x = 1 - cos^2 x 3^(1- cos^2 x) = 2 + 3^(cos^2 x) 3^1 * 3^(-cos^2 x) = 2 + 3^(cos^2 x) 3 * 3^(- cos^2 x) - 2 - 3^(cos^2 x) =0 podstawiam : 3^(cos^2 x) = t z założeniem t > 0 3^ t^(-1) - 2 - t = 0 3/t - 2 - t = 0 /* t 3 - 2t - t^2 = 0 -t^2 - 2t + 3 = 0 Delta=(-2)^2 -4 * (-1) * 3 = 4 + 12 = 16 pierw(Delta)=4 t1=(2-4)/(-2) = (-2)/(-2)=1 t2=(2+4)/(-2) = 6/(-2)=-3 niezgodne z założeniem 3^(cos^2 x) = 1 3^(cos^2 x)=3^0 cos^2 x = 0 cosx = 0 x=pi/2 + kPi, gdzie k należy do całkowitych

4) wielomian W(x)=x^3-(k+m)x^2-(k-m)x+3 jest podzielny przez dwumiany x-1) i (x-3). oblicz wartości współczynników k i m wielomianu. ponownie twierdzenie Bezout'a ale zastosowane dwa razy W(1) = 0 W(3) = 0 1^3 - (k+m) 1^2 - (k-m) * 1 + 3 = 0 3^3 - (k+m)3^2 - (k-m) * 3 + 3 = 0 1 - (k+m) - (k-m) + 3 = 0 27 - (k+m)*9 - (k-m)*3 + 3 = 0 1 - k - m - k + m + 3 = 0 27 - 9k - 9m - 3k + 3m + 3= 0 4 - 2k = 0 4=2k k=2 i podstawiamy to do drugiego 27 - 9k - 9m - 3k + 3m + 3 = 0 30 - 12k - 6m = 0 30 - 24 - 6m = 0 6 = 6m m=1 k=2 m=1

3) dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=x^3log^2m-3x^2logm-6x-2logm jest podzielny przez (x+1)? korzystamy z twierdzenia Bezout'a czyli wielomian W(x) jest podzielny przez (x-a) wtedy gdy W(a) = 0 W(-1) = 0 teraz nie jestem pewna zapisu, czy logarytm jest w potędze ? log^2 czy to oznacza logarytm o podstawie 2 czy logarytm do potęgi drugiej? bez dokładnego zapisu raczej ciężko to rozwiązywać ;)

2) dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 i x2 równania x^2+mx+4=0 spełnia warunek x1^2+x2^2=2(x1+x2)? x1^2 + x2^2 = 2(x1+x2) przekształcamy to równanie by wykorzystać wzory Viete'a (czyli do iloczynu i sumy pierwiastków (x1^2 + 2x1x2 + x2^2) - 2x1x2 - 2(x1+x2) = 0 (x1+x2)^2 - 2x1x2 - 2(x1+x2) = 0 x1+x2 = -b/a x1+x2 = -m/1=-m x1 * x2 = c/a x1x2 = 4/1=4 (-m)^2 - 2 * 4 - 2(-m) = 0 m^2 - 8 + 2m = 0 m^2 + 2m - 8 = 0 Delta=2^2-4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 pierw(Delta)=6 m1=(-2-6)/2=-8/2=-4 m2=(-2+6)/2=4/2=2 m należy do { -4, 2}

1) dla jakich wartości parametru m funkcja f(x)=(m-2)x^2-3x+mx+1 przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego? (m-2)x^2 - 3x + mx + 1 > 0 dla każdego x należącego do R (m-2)x^2 + x(-3+m) + 1 >0 zatem spełniać musimy warunki : a > 0 i Delta < 0 a=m-2 m-2 > 0 m > 2 Delta=(-3+m) -4 * (m-2) * 1 = =9 - 6m + m^2 - 4m + 8 = m^2 - 10m + 17 m^2 - 10m + 17 < 0 Delta=(-10)^2 -4 * 1 * 17 = 100 - 68=32 pierw(Delta)=pierw(32)=pierw(16*2)=4pierw2 m1=(10-4pierw2)/2=5-2pierw2 m2=(10+4pierw2)/2=5+2pierw2 m należy (5-2pierw2, 5+2pierw2) m > 2 n m należy (5-2pierw2,5+2pierw2) => m należy (5-2pierw2,5+2pierw2)

reszta później bo jednak muszę zejść z komputera

10) dla jakich p i q pierwiastkami równania x^2+px+p=0 są liczby p i q? x^2 + px + p=0 p ma być pierwiastekiem zatem x=p czyli : p^2 + p * p + p = 0 p^2 + p^2 + p = 0 2p^2 + p = 0 p(2p + 1)=0 p=0 lub 2p+1=0 2p=-1 /: p=-1/2 p=0 lub p=-1/2 q ma być pierwiastkiem zatem x=q : q^2 +pq + p = 0 gdy p=0 to : q^2 + 0q + 0 = 0 q^2 = 0 q=0 gdy p=-1/2 q^2 - 1/2 q - 1/2 = 0 /* 2 2q^2 - q - 1 = 0 Delta=(-1)^2-4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 pierw(delta)=3 q1=(1-3)/4=-2/4=-1/2 q2=(1+3)/4=4/4=1 zatem rozwiązania : p=0 i q=0 p=-1/2 i q=-1/2 p=-1/2 i q=1

Wartość danej -4,2,4,7,20 liczebność: 7,2,3,6,2 czyli liczba -4 występuje 7 razy liczba 2 występuje 2 razy liczba 4 występuje 3 razy liczba 7 występuje 6 razy liczba 20 występuje 2 razy a) podaj medianę wszystkich liczb mamy 7+2+3+6+2=20 a mediana to środkowa liczba czyli w naszej grupie to średnie z wyrazu 10 i 11 dziesiąty wyraz to 4 11 wyraz to 4 (4+4)/2=8/2=4 mediana=4 b) oblicz odchylenie standardowe najpierw policzę wariancję, bo odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji wariancja : [ 7*(-4-3,5)^2 +2*(2-3,5)^2+3(4-3,5)^2+6*(7-3,5)^2+2*(20-3,5)^2 ]/20 oblicz to i następnie spierwiastkuj dostając wynik odchylenia standardowego c)oblicz średnia arytmetyczną tych danych (-4 * 7 + 2 * 2 + 4 * 3 + 7 * 6 + 20 * 2)/(7+2+3+6+2)= (-28 + 4 + 12 + 42 + 40)/20 = 70/20=7/2=3,5

Zad4. Funkcja f(x) = -2x+5 dla x < i równe 2 x-2 dla x > 2 A. nie ma miejsc zerowych B. ma jedno miejsce zerowe C. ma dwa miejsca zerowe d. ma trzy miejsca zerowe jest mowa o miejscach zerowych zatem : -2x + 5 = 0 -2x = -5 /: (-2) x=2,5 ale my mamy warunek x < 2 2,5 nie spełnia tego warunku zatem odp A Zad5. Przedział < -4;nieskończoność) jest zbiorem wartości funkcji: A. y=x^2-4 B. y=x^2+4 C. Y=(x-4)^2 D. y=(x+4)^2 mamy do nieskończoności, zatem ramiona muszą być skierowane w górę ( zatem a > 0 ) wszystkie funkcje to spełniają poza tym na zbiór wartości ma wpływ q zatem q=-4 a to jest tylko w odpowiedzi A Zad.6 Zbiorem rozwiązań nierówności x^2 < i równe 3 jest: A. (-nieskończoność ; pierwiastek z 3) B. (- pierwiastek z 3; pierwiastek z 3) C. < - pierwiastek z 3; pierwiastek z 3 > D. (-nieskończoność; -pierwiastek z 3 > U < pierwiastek z 3;nieskończoność) x^2 < = 3 x^2 - 3 < = 0 x^2 - pierw3^2 < = 0 (x-pierw3)(x+pierw3) < = 0 x-pierw3=0 x=pierw3 x+pierw3=0 x=-pierw3 teraz rysujesz oś, zaznaczasz na niej wyliczone liczby, w tych liczba masz zamalowane kółka (bo mamy bądź równa się), rysujemy odpowiednią parabolę (ramiona skierowane do góry bo a > 0 ) i zamalowujemy odpowiednią część pod osia (bo mamy < 0 ) x należy < - pierw3, pierw3 > odp C Zad8. Ile rozwiązań ma równanie 5-x/x^2-5=0? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 zapisuj tak, żebym miała pewność co jest w liczniku a co w mianowniku () / () domyślam się, że chodzi o : (5-x)(x^2-5) = 0 najpierw dziedzina : x^2 - 5 różne 0 x^2 różne 5 x różne pierw5 x różne -pierw5 x należy do R - {-pierw5,pierw5} teraz obliczenie : 5-x=0 5=x zgodne z dziedziną zatem jest rozwiązaniem odp B Zad10. Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, w którym a1= pierwiastek z 2 i a10= 10pierwiastków z 2. Niech S10 będzie sumą dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wówczas: A. S10 < 50pierwiastków z 2 B. S10 = 50pierwiastków z 2 C. S10 = 55pierwiastków z 2 D. S10 > 55pierwiastków z 2 a1 = pierw2 a10 = 10pierw2 S10 = (a1 + a10)/2 * 10 S10=(pierw2 + 10pierw2)/2 * 10 S10=11pierw2 * 5 S10=55pierw2 odp C zad 11. Środkiem okręgu o równaniu (y+2)^2 + (x-1)^2-16=0 jest punkt: A. S(1,-2) B. S(-1,2) C. S(2,-1) D. S(-2,1) wzór : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 S(a,b) = (-2,1) odp D Zad 12. Ciąg(an) jest ciągiem geometrycznym, w którym a1= 9, a suma pierwszych trzech wyrazów S3=7. Iloraz tego ciągu: A. q= -1/2 B. q= 1/3 C. q= 1/3 lub q= -2/3 D. q= -1/3 lub q= -2/3 a1=9 S3=7 S3= a1 * (1-q^3)/(1-q) 7 = 9 * (1-q^3)/(1-q) 7/9 = (1-q^3)/(1-q) 7/9 = (1-q)(1+q+q^2)/(1-q) 7/9 = 1 + q + q^2 /* 9 7 = 9 + 9q + 9q^2 9q^2 +9q + 2 = 0 Delta=9 pierw(Delta)=3 q1=(-9-3)/18=-12/18=-2/3 q2=(-9+3)/18=-6/18=-1/3 odp D Zad 15. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-2,4) i b (4,-5) jest równy: A. -3/2 B. -2/3 C. 2/3 D. 3/2 y=ax+b podstawiamy współrzędne obu punktów otrzymując układ równań 4=-2a + b /* (-1) -5=4a+b -4 = 2a - b -5 = 4a + b -4-5=2a+4a -9=6a a=-9/6 a=-3/2 odp A Zad 16. Prosta y=-2x+5 jest prostopadła do prostej: A. y= -2x+1 B. y= -1/2x+5 C. y= 1/2x+3 D. y= 2x+7 prostopadła - czyli współczynnik kierunkowy musi być liczbą przeciwną i odwrotną liczba -2 przeciwna i odwrotna to 1/2 odp C Zad17. Punkty A(-5,3) i C(2,3) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy: przekątna tego prostokąta będzie średnicą okręgu |AC| = pierw[ (2+5)^2 + (3-3)^2 ] = pierw [ 49 + 0 ] = 7 d=7 2r = 7 r=3,5 odp C A. 2,5, B. 3, C. 3,5, D. 4. Zad18. Objętość sześcianu jest równa 16 pierwiastków z 2cm^3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe: V=16pierw2 V=a^3 a^3 = 16pierw2 a^3 = 8 * 2pierw2 a^3 = 2^3 * pierw2^3 a=2pierw2 Pc=6a^2 Pc=6 * (2pierw2)^2 Pc=6 * 4 * 2 = 48 cm^2 odp D A. 8cm^2 B. 16cm^2 C. 32cm^2 D. 48cm^2 Zad24. Wykres funkcji f(x)=3^x + a przechodzi przez punkt P(2,1) dla A. a=-8 B. a=-1 C. a=1 D. a=8 P(2,1) x=2 y=1 1=3^2 + a 1=9 + a 1 - 9 =a a=-8 odp A Zad26. Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego dana jest wzorem Sn=n(n+2). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu. Sn = n(n+2) a1 = S1 = 1(1+2)=1 * 3 = 3 a1 + a2 = S2 S2=2(2+2)=2 * 4 = 8 3 + a2 = 8 a2 = 5 r = a2 - a1 r=8-3=5