zadaniazmatematyki

2) trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a=9 i b=`12 obrócono wokół : obliczę długość przeciwprostokątnej a^2 + b^2 = c^2 9^2 + 12^2 = c^2 c^2 = 81 + 144 c^2=225 c=15 a. przyprostokątnej a rysunek : http://images40.fotosik.pl/253/75a0d5b217707b84med.jpg jak widać mamy tu stożek o następujących danych : r=12 h=9 l=15 Pc = pi r (r + l) Pc=pi 12(12+15) Pc=12pi * 27 Pc=324pi V=1/3 pi r^2 h V=1/3 pi 12^2 * 9 V=pi * 144 * 3 V=432pi b. przyprostokątnej b rysunek : http://images48.fotosik.pl/257/371fd1b0031899a0med.jpg podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy tu stożek o danych : r=9 h=12 l=15 Pc=pi r (r+l) Pc=pi 9(9+15) Pc=9pi *24 Pc=216pi V=1/3 pi r^2 h V=1/3 pi 9^2 * 12 V=pi * 81 * 4 V=324pi c. przeciwprostokątnej rysunek do zadania : http://images39.fotosik.pl/254/2c77f825f5c1af39med.jpg teraz mamy dwa stożki, oba mają ten sam promień r którego jeszcze nie znamy, obliczę ile wynosi r : P=1/2 * 9 * 12 = 9 * 6 = 54 P=1/2 * 15 * r = 7,5r 7,5r=54 /: 7,5 r=7,2 teraz liczę h1 oraz h2 : r^2 + h1^2 = 12^2 7,2^2 + h1^2 = 12^2 h1 = 9,6 h2=15-9,6 = 5,4 Objętość tej bryły to suma objętości obu stożków : V=1/3 pi r^2 h V=1/3 pi 7,2^2 * 9,6 + 1/3 pi 7,2^2 * 5,4 = 165,888pi + 93,312 V=259,2 Pole powierzchni tej bryły to suma pól ale tylko powierzchni bocznych obu stożków Pb=pi r l P=pi 7,2 * 12 + pi 7,2 * 9 = 86,4pi + 64,8pi = 151,2pi oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanej bryły

wyznacz ciąg geometryczny,w ktorym suma trzech poczatkowych wyrazów rowna jest 6,5 , a suma kwadratow tych wyrazow rowna jest 91/4 odp a1=1/2 q=3 lub a1=9/2 q=1/3 mamy ciąg jest mowa o trzech początkowych wyrazach niech to będą a,b,c tworzą ciąg geometryczny zatem : b/a = c/b b * b = ac ac= b^2 suma ich jest równa 6,5 : a + b + c = 6,5 a + c = 6,5 - b suma kwadratów jest równa 91/4 = 22,75 : a^2 + b^2 + c^2 = 22,75 zajmę się tym ostatnim równaniem i będę powoli sobie podstawiać inne a^2 + b^2 + c^2 = 22,75 a^2 + c^2 + b^2 = 22,75 (a^2 + 2ac + c^2)-2ac + b^2 = 22,75 (a+c)^2 - 2ac + b^2 = 22,75 podstawiam a + c = 6,5 - b (6,5-b)^2 - 2ac + b^2 = 22,75 podstawiam ac= b^2 (6,5-b)^2 - 2b^2 + b^2 = 22,75 (6,5-b)^2 - b^2 = 22,75 42,25 - 13b+ b^2 - b^2 = 22,75 42,25 - 13b = 22,75 -13b = 22,75 - 42,25 -13b=-19,5 /: (-13) b=1,5 a + c = 6,5 - b a+c=6,5 - 1,5 a+c=5 ac= b^2 ac=1,5^2 ac=2,25 a=2,25/c a+c=5 2,25/c + c = 5 /* c 2,25 + c^2 =5c c^2 - 5c + 2,25 = 0 delta=(-5)^2 - 4 * 1 * 2,25 = 25 -9=16 pierw(delta)=4 c1=(5-4)/2 = 1/2=0,5 c2=(5+4)/2 = 9/2=4,5 gdy c=0,5 to a=2,25/c=2,25/0,5=4,5 gdy c=4,5 to a=2,25/c=2,25/4,5=0,5 zatem mamy dwa przypadki: 1) a=4,5 b=1,5 c=0,5 wtedy q=1,5/4,5=1/3 a1=4,5 i q=1/3 2) a=0,5 b=1,5 c=4,5 wtedy q=1,5/0,5=3 a1=0,5 i q=3

mamy powtórki z matmy z materiału z gim a ja nic nie czaje: Zad. Która z liczb: 0; 2; 0,4; 1 jest rozwiązaniem równania? a) 3x -3(2x-2) = 3(x-2) najpierw musimy się pozbyć nawiasów, przed nawiasiami mamy liczby czyli wszystkie elementy z nawiasu przemnażamy przez liczbę która przed nią stoi 3x - 6x + 6 = 3x - 6 teraz wszystkie x przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą stronę , pamiętamy by zmieniajac stronę równania zmienić znak 3x - 6x - 3x = -6 - 6 wykonujemy działania po obu stronach -6x = -12 /: (-6) musimy się pozbyć -6 które stoi przy x czyli obie strony dzielimy przez (-6) x=2 b) 2x - (8-x) = -2(x-5) tu podobnie, najpierw pozbywamy się nawiasów, gdy przed nawiasem stoi tylko minus to zmienia się znak liczb będących w nawiasie 2x - 8 + x = -2x + 10 2x + x + 2x = 10 + 8 5x = 18 /: 5 x=18/5 x=3 i 3/5 x=3,6 c) dwie trzecie x - cztery całe i dwie trzecie = 2(x-3) 2/3 x - 4 i 2/3 = 2(x-3) 2/3x - 14/3 = 2(x-3) /*3 pomnożyłam razy 3 żeby się pozbyć mianowników 2 x - 14 = 6(x-3) 2x-14 = 6x - 18 2x - 6x = -18 + 14 -4x = -4 /: (-4) x=1 d) -5x + 2(1-x) = -x-2(x+1) -5x + 2 - 2x = -x - 2x - 2 -5x - 2x + x + 2x = -2 - 2 -4x = -4 /: (-4) x=1 temat: równania i układy równań/algebra w tyle podręcznika są odpowiedzi i jest napisane że w przkładzie a) x=2 b) x = 3,6 c) x=1 d) x=1 rozwiązywać takiego typu zadania musisz się nauczyć bo bez tego nie poradzisz sobie z materiałem w szkole ponadgimnazjalnej zatem ćwicz i ćwicz

2. cztery liczby tworza ciag geometryczny. trzecia liczba jest wieksza od pierszwj o 9,a druda jest wieksza od czwartej o 18. znajdz te liczby. odp 3 -6 12 -24 cztery liczby czyli a,b,c,d trzecia liczba jest większa od pierwszej o 9 : c=a+9 druga jest wieksza od czwartek o 18 : b = d + 18 czyli teraz nasze liczby to : a, d+18, a+9, d tworzą one ciąg geometryczny, a trzy kolejne elementy ciągu geometrycznego a1,a2,a3 spełniają warunek a2/a1 = a3/a2 my oczywiście mamy 4 elementy, ale mozna zapisać je trójkami jako : a, d+18, a+9 i d+18, a+9, d czyli mamy : (d+18)/a = (a+9)/(d+18) (a+9)/(d+18) = d/(a+9) (d+18)^2 = a(a+9) (a+9)^2 = d(d+18) (d+18)^2 = a(a+9) d(d+18) = (a+9)^2 robię taki trick : [ (d+18)^2 ] / [ d(d+18) ] = [ a(a+9) ]/[(a+9)^2 ] (d+18)/d = a/(a+9) (d+18)(a+9) = ad ad + 18a + 9d + 162 = ad /-ad 18a + 9d + 162 = 0 9d = -18a - 162 /: 9 d = -2a - 18 podstawiam sobie to do jednego z równań : d(d+18) = (a+9)^2 (-2a-18)(-2a-18+18) = (a+9)^2 (-2a-18) (-2a) = (a+9)^2 4a^2 + 36a = a^2 + 18a + 81 4a^2 + 36a - a^2 - 18a - 81 = 0 3a^2 + 18a - 81 = 0 /:3 a^2 + 6a - 27=0 delta=6^2 - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144 pierw(delta)=12 a1=(-6-12)/2=-18/2=-9 a2=(-6+12)/2=6/2=3 gdy a=-9 d = -2a - 18 =-2 * (-9) -18=18 -18=0 b = d + 18 = 0+18=18 c=a+9 = -9 +9=0 byłyby to wtedy -9,18,0,0 a to nie jest ciąg geometryczny czyli odpada gdy a=3 d=-2a-18 = -2 * 3 - 18 = -6 - 18=-24 b=d+18 = -24 + 18=-6 c=a+9 = 3+9=12 czyli mamy liczby 3,-6,12,-24 i to jest odpowiedź

10.83. Drewniany szescian, ktorego wszystkie sciany sa pomalowane na zielono, zostal podzielony na 64 przystajace male szesciany. Wszystkie te szesciany dokladnie przemieszano, a nastepnie losowo wybrano jeden. Oblicz prawdopodobienstwo: a). zdarzenia A, ze wybrany szescian ma jedna sciane zielona b). zdarzenia B, ze wybrany szescian ma co najmniej jedna sciane zielona POWINNO WYJSC P(A)=3/8 P(B)=7/8 musisz sobie wyobrazić ten sześcian czyli dzielimy go na 64 kawałki wśród tych kawałków : nie pomalowane wogóle - 8 pomalowane z 3 stron - 8 pomalowane z 2 stron -24 pomalowane z 1 strony - 24 P(A) = 24/64 = 12/32 = 6/16=3/8 P(B) = 8/64 + 24/64 + 24/64=56/64 = 7/8

10.88 Czterech studentów mieszkających w wspólnym pokoju w domu akademickim, postanowiło, że o tym kto danego ranka ma pójśc po bułki, będzie decydował los. Przygotowali 4 jednakowe kartki, przy czym jedną z nich oznaczono (po jednej stronie) literą W. Ta osoba, ktora wylosuje oznaczona kartke bedzie musiala pojsc po zakupy. Który ze współlokatorów , losujący jako pierwszy, drugi, trzeci czy czwarty ma największą szansę wyjscia po bułki?? Odpowiedź uzasadnij. POWINNO WYJSC ZE SZANSE SA TAKIE SAME 1 kartka - musi iść na zakupy 3 kartki - nie musi iść na zakupy 1 osoba : P(A) = 1/4 2 osoba - czyli wiadomo, że pierwsza wylosowała, że nie idzie P(B) = 3/4 * 1/3 = 1/4 3 osoba - czyli wiadomo, że pierwsza i druga wylosowały, że nie idą P(C) = 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/4 4 osoba - czyli wiadomo, że pierwsza, druga i trzecia wylosowały, że nie idą P(D) = 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1 = 1/4 takie same szanse (możesz sobie do tego drzewko rozrysować, będzie lepiej widać skąd dokładnie takie mnożenia)

10.90 Na loterii jest dziesięć losów, wśród których jeden los wygrywa całą stawkę, trzy losy wygrywają po 1/2 stawki, a pozostałe są przegrywające. Sporządź drzewko tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A , że kupując dwa losy wygramy dokładnie całą stawkę. tak mnie zastanawia to zadanie, bo moim zdaniem schemat tych losów jest błędny bo mamy 1 los który wygrywa całą stawkę i 3 losy które wygrywają 1/2 stawki dajmy na to, że wyciągamy los który wygrywa całą stawkę (czyli nie powinno już być nic do wygrania) a co gdy jako kolejny wyciągniemy ten co wygrywa 1/2 stawki ?? przecież cała stawka już należy do nas więc co teraz wygramy? wychodziłoby że nic

10.89 Z pudełka , w którym ca cztery kule białe i jedna czarna , losujemy kolejno bez zwracania cztery kule. Sporządź drzewko tego doświadczenia losowego, sprawdź, co jest bardziej prawdopodobne, czy wylosowanie kuli białej za pierwszym razem, czy za czwartym razem. mamy 4 kule białe i 1 czarną - czyli na początku razem 5 kul drzewko : http://images47.fotosik.pl/257/b687640fb85106d2med.jpg A - wylosowano kulę białą za pierwszym razem P(A) = 4/5 B - wylosowano kulę białą za czwartym razem P(B)=4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 + 4/5 * 3/4 * 1/3 * 2/2 + 4/5 * 1/4 * 3/3 * 2/2 + 1/5 * 4/4 * 3/3 * 2/2 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5=4/5 tak samo prawdopodobne

10.80 Pierwszy strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,8 , drugi strzelec z prawdopodobieństwem 0,7. Każdy strzelec oddał jeden strzał do tego samego celu. Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo: a) zdarzenia A, że cel został trafiony dwa razy b) zdarzenia B , że cel został trafiony co najmniej raz. T-trafiono N-nie trafiono drzewko : http://images39.fotosik.pl/253/205bf93f8e095a86med.jpg a) P(A) = 0,8 * 0,7 = 0,56 b) conajmniej raz, czyli raz trafiony i raz nie trafiony albo dwa razy trafiony P(B)=0,8 * 0,7 + 0,8 * 0,3 + 0,2 * 0,7=0,56 + 0,24 + 0,14 = 0,94

b)[ (sin^2 alfa + cos^2 beta) / (sin alfa * cos beta) ] * tg alfa gdy sin alfa = 3 pierwiastki z 2 / 2 pierwiastki z 6 cos beta = 3 pierwiastki z 2 / 2 pierwiastki z 6 tg alfa = 3 pierwiastki z dwóch / pierwiastek z 6 ( odp. 2 pierw z 3) sin alfa = 3pierw2/2pierw6 = 3/2pierw3 * pierw3/pierw3=3pierw3/6 sin alfa = pierw3/2 cos beta = 3pierw2/2pierw6 cos beta = pierw3/2 tg alfa = 3pierw2/pierw6 = 3/pierw3 * pierw3/pierw3 = 3pierw3/3 tg alfa = pierw3 [ (sin^2 alfa + cos^2 beta) / (sin alfa * cos beta) ] * tg alfa= =[ ( (pierw3/2)^2 + (pierw3/2)^2 ) / ( pierw3/2 * pierw3/2)] * pierw3= [ (3/4 + 3/4)/(3/4) ] * pierw3= [(6/4)/(3/4) ] * pierw3= 6/4 * 4/3 * pierw3=6/3 * pierw3=2pierw3

oblicz wartość wyrażenia: chyba pominięto jeden nawias :P a) [(sin alfa+ cos beta) / ( 3* tg alfa + 1) ] * tg beta gdy: sin alfa = 3 pierwiastki z 2 / 2 pierwiastki z 6 cos beta = 3 pierwiastki z 2 / 2 pierwiastki z 6 tg alfa = 3 pierwiastki z dwóch / pierwiastek z 6 tg beta = pierwiastek z 6/ 3 pierwiastki z 2 ( odp. (3 pierw 3 - 1) / 26) sin alfa = 3pierw2/2pierw6 = 3/2pierw3 * pierw3/pierw3=3pierw3/6 sin alfa = pierw3/2 cos beta = 3pierw3/2pierw6 cos beta = pierw3/2 tg alfa = 3pierw2/pierw6 = 3/pierw3 * pierw3/pierw3 = 3pierw3/3 tg alfa = pierw3 tg beta = pierw6/3pierw2 = pierw3/3 [(sin alfa+ cos beta) / ( 3* tg alfa + 1) ] * tg beta= [ (pierw3/2 + pierw3/2)/(3 * pierw3 + 1) ] * pierw3/3= =[ 2pierw3/2 : (3pierw3 +1) ] * pierw3/3 = pierw3 : (3pierw3+1) * pierw3/3 = 3/3 : (3pierw3+1)= 1 : (3pierw3+1)= 1/(3pierw3+1)= 1/(3pierw3+1) * (3pierw3-1)/(3pierw3-1)= (3pierw3-1)/(27-1)= (3pierw3-1)/26

4. liczba wyrazow skonczonego ciagu geometrycznego jest parzysta. suma wszytskich wyrazów tego ciagu jest 5 razy wieksza od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzytsych. znajdz iloraz tego ciagu. odp q=1/4 n - ilość wyrazów n - parzyste suma wszystkich wyrazów : Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q) suma wyrazów o numerach parzystych : a2 + a4 + a6 + ... + an czyli tu iloraz tego ciągu to q^2,a wyrazów jest n/2 Sn/2 = a2 * [1 - (q^2)^n/2 ] /(1-q^2) a1 * (1-q^n)/(1-q)= 5 * a2 * [1 - (q^2)^n/2 ] /(1-q^2) a wiadomo, że a2=a1 * q a1 * (1-q^n)/(1-q) = 5 * a1 * q * (1-q^n)/(1-q^2) /: a1 (1-q^n)/(1-q) = 5q (1-q^n)/(1-q^2) (1-q^n)/(1-q) = 5q * (1-q^n)/ 1 = 5q * 1/(1+q) 1+q = 5q 1 = 5q-q 4q=1 /:4 q=1/4

3. suma trezch liczb tworzacych ciag geometryczny jest rowna 62, a ich iloczyn jest rowny 1000. wyznacz te liczby. odp 2,10 50 liczby a,b,c tworzą ciąg geometryczny zatem mamy : a, aq, aq^2 suma jest równa 62 a + aq + aq^2 = 62 iloczyn jest równy 1000 a * aq * aq^2 = 100 a^3 * q^3 = 10^3 aq = 10 /:a q=10/a podstawiam to : a + aq + aq^2 = 62 a + a * 10/a + a * (10/a)^2 = 62 a + 10 + 100/a = 62 a - 52 + 100/a = 0 /* a a^2 - 52a + 100=0 delta=(-52)^2 - 4 * 1 * 100 = 2304 pierw(delta) = 48 a1=(52-48)/2 = 4/2=2 a2=(52+48)/2 = 100/2=50 dla a=2 q = 10/a=10/2=5 czyli będą to liczby: 2 2 * 5 = 10 10 * 5 = 50 dla a=50 q=10/50=1/5 czyli będą to liczby 50 50 * 1/5 = 10 10 * 1/5 = 2 to są dokładnie te same liczby 2, 10, 50

3. Ciąg (4, x, y) jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg (y, x+1, 5) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz x. (y, x+1, 5) - arytmetyczny x+1-y = 5-(x+1) x+1-y=5-x-1 x+1-y=4-x x+1-4+x=y y=2x-3 (4,x,y) - geometryczny (4,x,2x-3) - geometryczny x/4 = (2x-3)/x x * x = 4 *(2x-3) x^2 = 8x - 12 x^2 -8x + 12 = 0 delta=(-8)^2 -4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16 pierw(delta)=4 x1=(8-4)/2 = 4/2=2 x2=(8+4)/2=12/2=6

2. Wyznacz wszystkie liczby spełniające nierówność x^2-3x-10 mniejsze równe 0. x^2 - 3x - 10 < = 0 delta=(-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 pierw(delta)=pierw(49)=7 x1=(3-7)/2 = -4/2=-2 x2=(3+7)/2 = 10/2 = 5 oś : http://images46.fotosik.pl/256/70ac6701c10060acmed.jpg rozwiązanie x należy < -2, 5 >

6. miedzy liczby 2 i 18 wstaw trzy liczby tak, aby w utworzonym w ten sposób liczby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny,a trzy ostatnie ciag geometrzyczny. oraz by suma wszystkich pieciu liczb była rowna 45. odp 17,32,-24 lub 5,8,12 między liczby 2 i 18 wstaw trzy liczby 2, a, b, c, 18 suma pięciu liczb była równa 45 2 + a + b + c + 18 = 45 a + b + c = 45 - 2 - 18 a + b + c = 25 c=25-a-b czyli mamy 2, a, b, 25-a-b , 18 trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny: czyli naszym ciągiem arytm będzie 2, a, b a-2 = b-a a -2 + a = b b=2a - 2 czyli mamy 2, a, 2a-2, 25 - a - (2a-2) , 18 2, a, 2a-2, 25 - a - 2a + 2, 18 2, a, 2a-2, 27 - 3a, 18 trzy ostatnie ciag geometrzyczny zatem ciągiem geom jest : 2a-2, 27-3a , 18 (27-3a)/(2a-2) = 18/(27-3a) (27-3a)^2 = 18(2a-2) 729 - 162a + 9a^2 = 36a - 36 729 - 162a + 9a^2 - 36a + 36 = 0 9a^2 - 198a + 765 = 0 /: 9 a^2 - 22a + 85=0 delta=(-22)^2 - 4 * 1 * 85 = 484 - 340 = 144 pierw(delta)=12 a1=(22-12)/2=10/2=5 a2=(22+12)/2=34/2=17 2, a, 2a-2, 27 - 3a, 18 dla a=5 2, 5, 2 * 5 - 2 = 8, 27 - 3 * 5 = 12, 18 czyli wstawiono 5, 8, 12 dla a=17 2, 17, 2 * 17 - 2 = 32, 27 - 3 * 17 = -24, 18 czyli wstawiono 17, 32, -24

7trzy rozne liczby, ktorych suma rowna sie 63 tworza ciag geometryczny. liczby te sa pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciagu arytmetycznego. jakie to liczby?? odp3,12,48 trzy rożne liczby : a,b,c tworzą ciąg geometryczny : a, aq , aq^2 suma jest równa 63 : a + aq + aq^2 = 63 a(1 + q + q^2) = 63 są one pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem ciagu arytmetycznego arytmetyczny : b1 = a b4 = aq b16 = aq^2 b16 - b4 = 12r b4-b1=3r 4(b4-b1)=4 * 3r = 12r czyli b16 - b4 = 4(b4 - b1) aq^2 - aq = 4(aq - a) mam układ równań a(1 + q + q^2) = 63 aq^2 - aq = 4(aq - a) a(1+q+q^2) = 63 aq^2 - aq = 4aq - 4a a(1+q+q^2)=63 aq^2 - aq - 4aq + 4a=0 a(1+q+q^2)=63 aq^2 - 5aq + 4a = 0 a(1+q+q^2) = 63 a(4-5q+q^2) = 0 = 0/63 (4-5q+q^2)/(1+q+q^2) = 0 q^2 - 5q + 4 = 0 delta=(-5)^2 -4 *1 4 = 25-16=9 pierw(delta)=3 q1=(5-3)/2=2/2=1 q2=(5+3)/2=8/2=4 gdy q=1 jest to ciąg stały, zatem wszystkie liczby tego ciągu są takie same,a w treści jest napisane, że są różne zatem odpada q=4 a(1 + q + q^2) = 63 a(1+4+4^2)=63 a(1+4+16)=63 a * 21 = 63 /: 21 a=3 a=3 b=3 * 4 = 12 c=12 * 4 = 48 te liczby to 3, 12 i 48

8 skonczony ciag arytmetyczny ma 11 wyrazów. pierwszy wyraz jest rowny 24, pierwszy, piaty i jedenasty wyraz tworza ciag geometryczny. oblicz sume wyrazów ciagu arytmetycznego. odp264 lub 429 pierwszy wyraz = 24 a1=24 piąty wyraz to 24+4r jedenasty wyraz to 24+10r tworzą one ciąg geometryczny, czyli tym ciagiem będzie 24, 24+4r, 24+10r trzy liczby tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny gdy b/a = c/b (24+4r)/24 = (24+10r)/(24+4r) (24+4r)^2 = 24(24+10r) 576 + 192r + 16r^2 = 576 + 240r /- 576 192r + 16r^2 = 240r 16r^2 + 192r - 240r = 0 16r^2 - 48r = 0 /: 16 r^2 - 3r = 0 r(r-3)=0 r=0 lub r-3=0 r=3 gdy r=0 to ciąg jest stały zatem a1=24 a2=24 ... a11=24 S11=24 * 11 = 264 gdy r=3 a1=24 a2=27 ... a11=a1 + 10r a11=24 + 10 * 3 = 24 + 30 = 54 S11=(a1+a11)/2 * 11 S11=(24+54)/2 * 11 = 78/2 * 11 = 39 * 11 = 429

cyfry szukanej liczby trzycyfrowj tworza ciag geometryczny, suma kwadratow cyfry jednosci i setek wynosi 68.. jeśli od tej liczby odejmiemy 594 to uzykamy liczbe utworzoną z tych samych cyfr, ale nepisanych w innej kolejnosci. znajdz tę liczbe. odp 842 a - cyfra setek tej liczby b - cyfra dziesiątek tej liczby c - cyfra jedności tej liczby tworzą ciąg geometryczny zatem : b=aq c=aq^2 q > 0 (żeby liczby były napewno naturalne) ta liczba to 100a+10b+c = 100a + 10aq + aq^2 suma kwadratow cyfry jednosci i setek wynosi 68 : c^2 + a^2 = 68 (aq^2)^2 + a^2 = 68 jeśli od tej liczby odejmiemy 594 to uzykamy liczbe utworzoną z tych samych cyfr, ale nepisanych w innej kolejnosci 100a + 10aq + aq^2 - 594 = 100aq^2 + 10aq + a robię sobie układ równań (aq^2)^2 + a^2 = 68 100a + 10aq + aq^2 - 594 = 100aq^2 + 10aq + a a^2 q^4 + a^2 = 68 100a + 10aq + aq^2 - 100aq^2 - 10aq - a = 594 a^2(q^4 + 1) = 68 -99 aq^2 + 99a= 594 /: (-99) a^2(q^4+1) = 68 aq^2 - a = - 6 a^2(q^4+1) = 68 a(q^2 - 1) = -6 drugie równanie podnoszę do drugiej potęgi a^2(q^4+1) = 68 a^2(q^2-1)^2 = (-6)^2 a^2(q^4+1)=68 a^2(q^4 - 2q^2 + 1) = 36 = 68/36 (q^4+1)/(q^4-2q^2+1) = 17/9 9(q^4+1) = 17(q^4 - 2q^2 +1) 9q^4 + 9 = 17q^4 - 34q^2 + 17 17q^4 - 34q^2 + 17 - 9q^4 - 9 =0 8q^4 - 34q^2 + 8 = 0 /:2 4q^4 - 17q^2 + 4 = 0 q^2 = t , t > = 0 4t^2 - 17t + 4 = 0 delta=(-17)^2 - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225 pierw(delta)=15 t1=(17-15)/8 =2/8=1/4 t2=(17+15)/8=32/8=4 t=1/4 wtedy q^2 = 1/4 q=1/2 lub q=-1/2 < 0 zatem odpada dla q=1/2 : a^2(q^4 + 1) = 68 a^2( (1/2)^4 + 1) = 68 a^2 (1/16 + 1) = 68 a^2 * 17/16 = 68 a^2 = 68 * 16/17 a^2 = 64 a=8 lub a=-8 < 0 odpada a=8 b=8 * 1/2 = 4 c=4 * 1/2 = 2 ta liczba to 842 t=4 wtedy q^2 = 4 q=2 lub q=-2 < 0 odpada dla q=2 a^2(q^4 + 1) = 68 a^2(2^4 + 1) = 68 a^2(16+1) = 68 a^2 * 17 = 68 a^2 = 4 a=2 lub a=-2 < 0 odpada a=2 b=2 * 2 = 4 c=4 * 2 = 8 byłaby wtedy to liczba 248 ale odpada bo nie spełnia warunku "jeśli od tej liczby odejmiemy 594 to uzykamy liczbe utworzoną z tych samych cyfr" szukana liczba to 842

jeśli się uda to coś jeszcze dzisiaj porozwiązuję, jeśli nie to dopiero jutro

2.oBLICZ DLA JAKICH WARTOŚCI m funkcja kwadratowa f określona wzorem: a) f(x)=x^2-mx+1 przyjmuje wartości dodatnie, wartości dodatnie czyli a > 0 i delta < 0 a > 0 spełnione bo 1 > 0 delta=(-m)^2 - 4 * 1 * 1 = m^2 - 4 m^2 - 4 < 0 (m-2)(m+2) < 0 m1=2 m2=-2 m należy (-2,2) b) f(x)=x^2-2mx-3 ma oś symetrii o równaniu x=1. oś symetri to x=p p=-b/2a p=2m/2=m x=1 x=m m=1

zad. 5,2 Ciąg (an) określony jest wzorem an=3n-7. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów: a) a2, a6, a8, a10 an = 3n -7 a2=3 * 2 - 7 = 6-7=-1 a6=3 * 6 - 7 = 18-7=11 a8=3 * 8 - 7 = 24-7=17 a10=3 * 10 - 7 = 30-7=23 średnia : (-1+11+17+23)/4=50/4=12,5 b) a1,a2,a3,a4 an = 3n -7 a1=3 * 1 - 7 =3-7=-4 a2= -1 a3=3 * 3 - 7 = 9-7=2 a4=3 * 4 - 7=12-7=5 średnia (-4-1+2+5)/4 = 2/4=0,5 c) a5,a10,a15,a20 an = 3n -7 a5=3 * 5 - 7= 15-7=8 a10 = 23 a15=3 * 15 - 7 = 45 - 7 = 38 a20 = 3 * 20 - 7 =60-7=53 średnia : (8+23+38+53)/4 = 122/4=30,5

zad. 5.1 wypisz pięć początkowych wyrazów ciągu jeżeli ciąg określony jest wzorem: a) an= n^2-3n a1=1^2 - 3 * 1 = 1 - 3 = -2 a2=2^2 - 3 * 2 = 4 - 6 = -2 a3 = 3^2 - 3 * 3 = 9 - 9 = 0 a4 = 4^2 - 3 * 4 = 16 - 12=4 a5 = 5^2 - 3 * 5 = 25 - 15=10 b) an= (2n+2)/3n a1=(2 * 1 + 2)/(3 * 1) = (2+2)/3 = 4/3=1 i 1/3 a2=(2 * 2 + 2)/(3 * 2) = (4+2)/6 = 6/6=1 a3=(2 * 3 + 2)/(3 * 3) = (6+2)/9=8/9 a4=(2 * 4 + 2)/(3 * 4) = (8+2)/12 = 10/12=5/6 a5=(2 * 5 + 2)/(3 * 5) = (10+2)/15 = 12/15=4/5 c) an= 2^n + (1/2^n) czy tutaj powinien być zapis 1/ 2^n czy też (1/2)^n ??? d) an= (2n+(-1)^n)/3n a1=(2 * 1 + (-1)^1 )/(3 * 1) = (2 - 1)/3 = 1/3 a2=(2 * 2 + (-1)^2 )/(3 * 2) = (4 +1)/6=5/6 a3=(2 * 3 + (-1)^3)/(3 * 3) = (6-1)/9=5/9 a4=(2 * 4 + (-1)^4)/(3 * 4) = (8+1)/12=9/12=3/4 a5=(2 * 5 + (-1)^5)/(3 * 5) = (10-1)/15=9/15=3/5 e) an=1^2+2^2+,,,+n^2 a1=1^2=1 a2=1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 a3=1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 a4=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 a5=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 f) an= 1+3+...+(2n-1) a1=1 a2=1+3=4 a3=1+3+5=9 a4=1+3+5+7 = 16 a5=1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1.Oślica niosła wino i uginając się pod jego ciężarem,skarżyła się mułowi,który jej towarzyszył.Muł rzekł:Czemu ty narzekasz,oślico?Gdybym ja wziął jedną z twoich miar,to ładunek mój byłby dwa razy cięższy od twego,a gdybyś ty wzięła jedną z moich miar,to ja dźwigałbym tyle samo co ty.Ile miar niosła oślica,a ile muł? zad.1 ślica 5 miar,a muł 7 miar x - tyle niosła oślica y - tyle niósł muł muł rzekł : gdybym ja wziął jedną z twoich miar to ładunek mój byłby 2 razy cięższy od twojego y+1 = 2(x-1) a gdybyś ty wzieła jedną z moich to dzwigalibysmy tyle samo x+1 = y-1 y+1 = 2(x-1) x + 1 = y-1 y + 1 = 2x - 2 x - y = -1 - 1 -2x + y = -2 - 1 x - y = -2 -2x + y = -3 x - y = -2 -2x + x = -3 - 2 -x = -5 x=5 x - y = -2 5 - y = -2 -y = -2-5 -y=-7 y-=7

2.W klasie,liczącej 20 uczniów,chłopców jest więcej niż dziewcząt.Czworo uczniów,czyli 20% dziewcząt i 20% chłopców,nosi okulary.Ilu chłopców i ile dziewcząt jest w tej klasie? zad.2:5 dziewcząt i 15 chłopców. x - ilość chłopców y - ilość dziewcząt klasa liczy 20 uczniów zatem x + y = 20 20% dziewcząt i 20% chłopców czyli czworo uczniów nosi okulary 20%x + 20%y = 4 0,2x + 0,2y = 4 daje mi to układ równań x + y = 20 0,2x + 0,2y = 4 /* 5 x + y = 20 x + y = 20 zatem mamy układ nieoznaczony oczywiście liczba chłopców/dziewcząt może być od 1 do 19 zastanówmy się ile może wynosić x a ile y 0,2x i 0,2y są liczbami naturalny (stanowią ilość uczniów) czyli zarówno x jak i y muszą być podzielne przez 5 czyli mogą być równe 5,10,15 czyli albo 5+15, 10+10, albo 15 + 5 chłopców jest więcej niż dziewcząt czyli tylko 3 przypadek 15 chłopców i 5 dziewcząt