zadaniazmatematyki

Wiadomo, że m=10^log o podstawie 10 z 2010 - 20^log o podstawie 20 z 2011 i k= 1/2log100. Zatem: a) m=k b) m= -k c) m= -10k d) m = 30k k = 1/2 log100 = 1/2 * 2 = 1 m=10^(log10 2010) - 20^(log20 2011) = korzystam ze wzoru a^(loga b) = b =2010 - 21011 = -1 k=1 m=-1 zatem m=-k odp B

Kąt L (alfa) jest kątem ostrym. Okrąg opisany jest wzorem x^2 + (y03)^2 = 3. Liczba punktów wspólnych tego okręgu i prostej x=sinL(alfa) jest równa: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 co to jest (y03) ????

Suma kolejnych liczb nieparzystych mneijszych od 100 jest równa: a) 2525 b) 5050 c) 2450 d) 2500 liczby nieprzyste mniejsze od 100 to 1,3,5,..., 99 tworzą one ciąg arytmetyczny o r=2 ile ich jest? an = a1 + (n-1) * r 99 = 1 + (n-1) * 2 99 = 1 + 2n - 2 99 = 2n - 1 2n = 99 + 1 2n = 100 n=50 Sn=(a1 + an)/2 * n S50 = (1 + 99)/2 * 50 S50 = 100/2 * 50 = 50 * 50 = 2500 odp D

Di jkasy wchodzi grupa uczniów składająca się 5 dziewczynek i 4 chłopców. Pierwsze wchodzą dziewczynki, a za nimi chłopcy., Liczba wszystkich możliiwych sposobów takiego wejścia uczniów do klasy jest równa: a) 20 b) 9 c) 2880 d) 120 najpierw wchodzi 5 dziewczynek czyli mogą wejść na 5! sposobów potem wchodzi 4 chłopcó czyli mogą wejść na 4! sposobów 5! * 4! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 1 * 2 * 3 * 4 = 2880 odp C

Wartość liczbowa wyrażenie 1/ (x^2-4x+7) dla x>0 jest największa, gdy liczba x jest równa: a) 1, b) 2 c) 1/2 d) 1/4 x^2 - 4x + 7 a > 0 zatem przyjmuje wartość najmniejszą na wierzchołku dla x = p p=-b/2a p=4/2=2 x=2 1/(x^2 - 4x + 7) przyjmuje wartość największą gdy dół jest najmniejszy czyli x=2 odp B

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 13.Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby,to otrzymalibyśmy liczbę o 27 mniejszą.O jakiej liczbie mowa? Odpowiedź ma być:85. dane : x - cyfra dziesiątek tej liczby y - cyfra jedności tej liczby zatem ta liczba to będzie 10x+y gdy przestawimy cyfry tej liczby to otrzymamy 10y+x suma cyfr wynosi 13 : x+y = 13 Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby,to otrzymalibyśmy liczbę o 27 mniejszą. 10y + x = 10x + y -27 otrzymuje układ równań x + y = 13 10y + x = 10x + y = -27 x + y = 13 10y + x - 10x - y = -27 x + y = 13 -9x + 9x = -27 /: (-9) x + y = 13 x - y = 3 x + x = 13 + 3 2x = 16 /:2 x=8 x + y = 13 8 + y = 13 y=5 ta liczba to 85

owodnij ze jeseli liczby x,y,z tworza ciag geometryczny, to (x+y+z)(x-y+z)=x^2+y^2+z^2 x,y,z mają tworzyć ciąg geometryczny zatem y=xq z=xq^2 zatem (x + y + z )(x - y + z) = =(x + xq + xq^2)(x - xq + xq^2) = z pierwszego i drugiego nawiasu wyciągam wspólny czynnik przed nawias =x(1+q+q^2)x(1-q+q^2)= =x^2(1+q+q^2)(1-q+q^2)= wymnażam nawiasy =x^2(1 + q + q^2 - q - q^2 - q^3 + q^2 + q^3 + q^4)= =x^2(q^4 + q^2 + 1)= =x^2 q^4 + x^2 q^2 + x^2= =(xq^2)^2 + (xq)^2 + x^2= =z^2 + y^2 + x^2 c.n.u.

oblicz wartośc wyrażenia: cos 60 stopni / (1+ sin 60 stopni) + 1 / tg 30 stopni odp: 2 cos60/(1+ sin60) + 1/tg30 = oczywiście trzeba odczytać wartości tych funkcji dla odpowiednich katów z tablic (1/2)/(1 + pierw3/2) + 1/(pierw3/3) = = 1/2 : (1+ pierw3/2) + 3/pierw3 = 1/2 : (2/2 + pierw3/2) + 3/pierw3 * pierw3/pierw3 = 1/2 : (2+pierw3)/2 + 3pierw3/3 = 1/2 * 2/(2+pierw3) + pierw3 = 1/(2+pierw3) + pierw3 = 1/(2+pierw3) + /(2+pierw3)= 1/(2+pierw3) + (2pierw3 + 3)/(2+pierw3)= (1 + 2pierw3 + 3)/(2+pierw3)= (4+2pierw3)/(2+pierw3)= /(2+pierw3) = 2

kolejna porcja rozwiązań wieczorem

b) mniejszych od 243, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3. przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3 a1=3 r=5 an=a1 + (n-1) * r an = 3 + (n-1) * 5 an = 3 + 5n - 5 an = 5n - 2 5n - 2 < 243 5n < 243 + 2 5n < 245 /:5 n < 49 n=48

Oblicz, ile jest liczb naturalnych: a) dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3. wogole liczby naturalne który przy dzieleniu przez 7 dają reszte 3 to 3,10,17,24,31 itd czyli r=7 dwucyfrowe czyli jako pierwsza interesuje nas 10 a1=10 r=7 zapisuję wzór na wyraz ogólny an=a1 + (n-1) * r an = 10 + (n-1) * 7 an = 10 + 7n - 7 an = 7n + 3 mają być dwucyfrowe, czyli mniejsze od 100 7n + 3 < 100 7n < 100 - 3 7n < 97 /: 7 n < 13 i 6/7 teraz największe n spełniajace to n=13

Wyznacz dla ciągu arytmetycznego an sumę a5+a6+...+a20. gdy an=5n-3 an = 5n - 3 a5 = 5 * 5 - 3 a5 = 25-3 a5 = 22 a20 = 5 * 20 - 3 a20 = 100 - 3 a20 = 97 czyli znamy już pierwszy i ostatni element naszej sumy potrzeba jeszcze znać ilość elementów n = 20-4=16 S16 = (a5 + a20)/2 * 16 S16 = (22 + 97)/2 * 16 S16 = 119 * 8 S16 = 952

Oblicz wartość wyrażenia sinL(alfa) * cosL (alfa), gdy sinL+cosL= 6/5 i 0 stopni < L(alfa) < 90 stopni. sin * cos = ??? sin + cos = 6/5 obie strony podnosze do drugiej potęgi (sin + cos )^2 = (6/5)^2 sin^2 + 2 sin cos + cos^2 = 36/25 1 + 2 sin cos = 36/25 2sin cos = 36/25 - 1 2sin cos = 11/25 /:2 sin cos = 11/50

c) tgL (alfa) = 2 tg = 2 ctg =1/2 tg = sin/cos sin/cos = 2 sin = 2cos sin^2 + cos^2 = 1 (2cos)^2 + cos^2 = 1 4cos^2 + cos^2 =1 5cos^2 = 1 cos^2 = 1/5 cos = pierw cos = 1/pierw5 cos = pierw5/5 sin=2cos sin = 2 * pierw5/5 sin=2pierw5/5

b) cosL (alfa) = 3/5 cos = 3/5 sin^2 + cos^2 = 1 sin^2 + (3/5)^2 = 1 sin^2 + 9/25 = 1 sin^2 = 1 - 9/25 sin^2 = 16/25 sin=pierw sin = 4/5 tg = sin / cos tg = 4/5 : 3/5 tg = 4/5 * 5/3 tg = 4/3 ctg =3/4

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa, gdy: a) sinL (alfa) = 1/3 będę sobie pomijać alfa, żeby zapis był bardziej czytelny sin = 1/3 sin^2 + cos^2 = 1 (1/3)^2 + cos^2 = 1 1/9 + cos^2 = 1 cos^2 = 1-1/9 cos^2 = 8/9 cos = pierw cos=pierw8/3 cos=2pierw2/3 tg = sin/cos tg = 1/3 : 2pierw2/3 tg = 1/3 * 3/2pierw2 tg = 1/2pierw2 * pierw2/pierw2 tg =pierw2/4 ctg = 2pierw2/1 ctg = 2pierw2

e) cos alfa / (1+ sin alfa) + (1 + sin alfa) / cos alfa= mamy dodawanie ułamków, zatem potrzebujemy mieć wspólny mianownik(ominę sobie alfa żeby zapis był łatwiejszy - ale pamiętam by to dopisać później) =[cos * cos]/ + = cos^2/ + [1+2sin+ sin^2]/= =[cos^2 + 1 + 2sin + sin^2 ]/= jak widać w liczniku mamy jedynkę trygonometryczną =[1 + 1 + 2sin]/= [2 + 2sin]/= 2(1+sin)/=2/cos

d) sin^2 alfa / (cos alfa- cos^3 alfa)= w mianowniku wyciągam wspólny czynnik przed nawias =sin^2 alfa/[ cos alfa(1 - cos^2 alfa)]= wykorzystuję wzór na jedynkę trygonometryczną =sin^2 alfa/[cos alfa(sin^2 alfa + cos^2 alfa - cos^2 alfa)]= =sin^2 alfa/[cos alfa * sin^2 alfa]=1/cos alfa

c) tg alfa(sin alfa+ cos alfa)^2 - 2sin^2 alfa= najpierw wykorzystam wzór (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 =tg alfa( sin^2 alfa + 2sin alfa cos alfa + cos^2 alfa) - 2sin^2 alfa = w nawiasie mamy jedynkę trygonometryczną =tg alfa(1 + 2 sin alfa cos alfa ) - 2sin^2 alfa= =tg alfa * 1 + tg alfa * 2 sin alfa cos alfa - 2sin^2 alfa= wiemy,że tg alfa = sin alfa/cos alfa =tg alfa + sinalfa/cosalfa * 2 sin alfa cos alfa - 2sin^2 alfa = tg alfa + sin alfa * 2 sin alfa - 2sin^2 alfa= tg alfa + 2sin^2 alfa - 2 sin^2 alfa = tg alfa

b) (1 + sin alfa)(1-sin alfa) + sin^2 alfa= znowu wzór skróconego mnożenia (a+b)(a-b)=a^2 - b^2 =1^2 - sin^2 alfa + sin^2 alfa =1

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: a) (1-cos alfa)(1+cos alfa) - sin^2 alfa (1-cos alfa)(1 + cos alfa) - sin^2 alfa = w nawiasach mam wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a^2 - b^2 =1^2 - cos^2 alfa - sin^2 alfa= wykorzystuję wzór na jedynkę trygonometryczną =sin^2 alfa + cos^2 alfa - cos^2 alfa - sin^2 alfa = jak widać wszystko się pieknie skraca =0

Wreszcie mam internet ;) powoli będę rozwiązywać teraz zadania, a reszta wieczorem i oczywiscie jutro, żeby wszystko było zrobione ;) proszę tylko o cierpliwość

mam jeszcze problem z takim zadankiem: Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+3)^2 + (y-1)^2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa: a. 0 b. 1 c. 2 d.4 sprawdzam najpierw punkty wspólne z osią OX (czyli y=0) (x+3)^2 + (0-1)^2 = 4 (x+3)^2 + 1 = 4 (x+3)^2 = 3 tu są napewno dwa rozwiązania sprawdzam punkty wspólne z osią OY (czyli x=0) (0+3)^2 +(y-1)^2 = 4 9 + (y-1)^2 = 4 (y-1)^2 = 4-9 (y-1)^2 = -5 tu nie ma rozwiązania zatem dwa punkty wspólne z osiami

up

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostroslupa prawidłowego trójkątnego, którego ściany boczne są trójkątami prostokątnymi, a krawędź podstawy ma długość 4 cm. rysunek do zadania : http://images37.fotosik.pl/250/02bc5af44211d322med.jpg prawidłowy trójkątny zatem podstawą jest trójkąt równoboczny czyli krawędzie boczne maja takie same długości czyli sciany bocznej są trójkątami równoramiennymi obliczam b z twierdzenia Pitagorasa: b^2 + b^2 = 4^2 2b^2 = 16 /:2 b^2 = 8 b=pierw8 b=2pierw2 Pc = Pp + Pb Pp=a^2 pierw3/4 Pp=4^2 pierw3/4 = 16pierw3/4=4pierw3 pole jednej ściany bocznej : P=1/2 * 2pierw2 * 2peirw2 P=1/2 * 4 * 2 P=4 Pb=3 * P Pb=3 * 4 = 12 Pc=4pierw3 + 12