zadaniazmatematyki

3. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm i 5 cm. Oblicz wysokośc tego graniastosłupa, jeśli : rysunek do zadania : http://images47.fotosik.pl/248/34375f150f7cb13emed.jpg obliczam długość x : 12 - 6 = 6 6 : 2 = 3 x=3 cm z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość h : x^2 + h^2 = 5^2 3^2 + h^2 = 5^2 9 + h^2 = 25 h^2 = 25 - 9 h^2 = 16 h=4 Pp=(a+b)/2 * h Pp=(12+6)/2 * 4 Pp=18 * 2 Pp=36 cm^2 a) jego pole powierzchni bocznej jest równe 560 cm^2 Pb = 12H + 5H + 6H + 5H Pb = 28H 28H = 560 /: 28 H=20 cm b) jego pole powierzchni całkowitej jest równe 492 cm^2 Pc = 2Pp + Pb 492 = 2 * 36 + Pb 492 = 72 + 28H 28H = 492 - 72 28H = 420 /: 28 H = 15

rysunek do zadania : http://images40.fotosik.pl/244/6a40e9ebf047e09cmed.jpg a) wierzchołki sześciokąta foremnego leżą na okręgu o średnicy 12. Jakie pole ma ten sześciokąt? d=12 d=2r 2r=12 r=6 sześciokąt foremny składa się z sześciu trojkątów równobocznych których bok jest równy dlugości promienia okręgu opisanego na tym sześciokącie zatem a=r a=6 P=6 * a^2 pierw3/4 P=6 * 6^2 pierw3/4 P=6 * 36pierw3/4 P=6 * 9pierw3 P=54pierw3 b) oblicz długość przekątnych sześciokąta foremnego o boku 2. sześciokąt ma dwie przekątne różnej długości (dłuższą przekątną zaznaczyłam na rysunku żółtą kreską, a krótszą przekątną zieloną kreską) a=2 r=a r=2 d1=2r d1=2 * 2 d1=4 przekątna d2 przechodzi przez wysokości trójkatów równobocznych h=a pierw3/2 h=2pierw3/2 h=pierw3 d2=2 * h d2=2 * pierw3 d2=2pierw3 c) krótsza przekątna sześciokąta foremnego ma długość 6 i 3 pod pierwiastkiem , jaki obwód ma ten sześciokąt? krótsza przekątna sześciokąta to : d=2 * apierw3/2 d=a pierw3 6pierw3 = apierw3 /: pierw3 a=6 Obw = 6 * a Obw = 6 * 6 Obw = 36 d) oblicz dla jakiej naturalnej liczy n kąt n-kąta foremnego jest o 1.5 mniejszy od kąta wielokąta foremnego który ma n+1 boków wielokąt foremny o n bokach ma kąt o mierze : 180 - 360/n wielokąt foremny o n+1 bokach ma kąt o mierze : 180 - 360/(n+1) co daje nam równanie 180 - 360/n + 1,5 = 180 - 360/(n+1) od obu stron odejmuję 180 -360/n + 1,5 = -360/(n+1) obie strony mnożę razy (-1) 360/n - 1,5 = 360/(n+1) obie strony mnożę razy n(n+1) 360(n+1) - 1,5n(n+1) = 360n 360n + 360 - 1,5n^2 - 1,5n = 360n od obu stron odejmuję 360n -1,5n^2 - 1,5n + 360 = 0 delta=(-1,5)^2 - 4 * (-1,5) * 360 = 2162,25 pierw(delta)=46,5 n1=(1,5 - 46,5)/(-3) = 15 n2=(1,5 + 46,5)/(-3) = -16 odpada bo n musi być liczbą naturalną n>3 odp n=15

później znowu porozwiązuję pozostałe zadania ;)

Zadanie:3 Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, mając a1=12 , a2=6. a1=12 a2=6 r=a2 - a1 r=6-12=-6 an=a1 + (n-1) * r a20 = 12 + (20-1) * (-6) a20 = 12 + 19 * (-6) a20 = 12 - 114 = - 102 Sn=(a1+an)/2 * n S20 = (12 - 102)/2 * 20 S20 = (-90) * 10 S20=-900

Zadanie:4 Wyznacz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, mając dane a1=3 , a2=1i1/2. a1=3 a2=1 i 1/2 = 3/2 q=a2 : a1 q=3/2 : 3 = 1/2 Sn=a1 * (1-q^n)/(1-q) S10= 3 * [1 - (1/2)^10]/(1-1/2) S10 = 3 * (1 - 1/1024)/(1/2) S10 = 3 * 1023/1024 * 2 S10 = 3069/512=5 i 509/512

Zadanie5: Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=(n-4)(n-7). Sprawdź , które wyrazy tego ciągu są ujemne. (n-4)(n-7) < 0 n1=4 n2 = 7 n należy do (4,7) n musi być liczbą naturalną, czyli może to być 5 i 6 wyraz piąty i szósty są ujemne

Zadanie:6 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a=-2n+8. Wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu. -2n + 8 > 0 - 2n > -8 /: (-2) n < 4 n musi być liczbą naturalną, czyli liczby naturalne należące do tego przedziału to 1,2 oraz 3 a1=-2 * 1 + 8 = -2 + 8 = 6 a2=-2 * 2 + 8 = -4 + 8 = 4 a3=-2 * 3 + 8 = -6 + 8 = 2

Zadanie:7 Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an=-1/2n - 1 jest arytmetyczny. musimy udowodnić, że r jest stałe r=a(n+1) - a(n) a(n) = -1/2 n - 1 a(n+1) = -1/2 (n+1) - 1=-1/2 n - 1/2 - 1 = -1/2 n - 3/2 r=-1/2 n - 3/2 - (-1/2 n -1)= -1/2 n - 3/2 + 1/2n + 1 = -1/2 r jest stałe zatem jest to ciąg arytmetyczny

Zadanie;8 Wykaż ,że ciąg o wyrazie ogólnym an=3^n/5 jest geometryczny. należy udowodnić, że q jest stałe q=a(n+1) / a(n) a(n) = 3^n / 5 = 1/5 * 3^n a(n+1) = 3^(n+1)/5 = 1/5 * 3^(n+1) q=[1/5 * 3^(n+1) ] / [1/5 * 3^n]= =3^(n+1) : 3^n = 3^(n+1-n)=3^1=3 q jest stałe zatem ciąg jest geometryczny

Zadanie:9 Dany jest ciąg (3/4 , x , 5/7+2x). Wykaż,że nie istnieje taka liczba x, aby ten ciąg był arytmetyczny. x - 3/2 = 5/7 + 2x - x x - 3/2 = 5/7 + x x - x = 5/7 + 3/2 0 = 31/14 sprzeczność, czyli nie istnieje taki x

Zadanie;10 Ciąg(-4, x , x+3/4) jest geometryczny. Wyznacz x. x/(-4) = (x + 3/4)/x mnożę na krzyż x * x = (-4) * (x + 3/4) x^2 = -4x - 3 x^2 + 4x + 3 = 0 delta=4^2 - 4 * 1 * 3 = 16-12=4 pierw(delta)=2 x1=(-4-2)/2=-6/2=-3 x2=(-4+2)/2=(-2)/2=-1

Zadanie14 Dany jest ciag o wyrazie ogolnym an=6n/n+1. Wykaż, że (a1 , a3-1/2, a5) jest ciagiem arytmetycznym. an=6n/(n+1) a1=(6 *1)/(1+1)=6/2=3 a3=(6 * 3)/(3+1)=18/4=9/2 a3 - 1/2 = 9/2 - 1/2 = 8/2 = 4 a5=(6 * 5)/(5+1)=30/6=5 czyli mamy wykazać, że (3,4,5) jest arytmetyczny 4-3=5-4 1=1 zatem jest to ciąg arytmetyczny

b) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 3 cm i (3+4pierw3) cm, a jego kąt ostry ma miarę 30 stopni. Oblicz objętość graniastosłupa prostego o wysokości 9 cm, którego podstawą jest ten trapez. rysunek do zadania : http://images41.fotosik.pl/244/aa8845c173f56f51med.jpg obliczam długość x : 3 + 4pierw3 - 3 = 4pierw3 x=4pierw3 wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczam długość h : tg(30) = h/x pierw3/3 = h /4pierw3 pierw3 * 4 pierw3 = 3 * h 4 * 3 = 3h /:3 h=4 Obliczam objętość : V=Pp * H Pp=(a+b)/2 * h Pp=(3+4pierw3 + 3)/2 * 4 Pp=(4pierw3 + 6) * 2 Pp=8pierw3 + 12 V=(8pierw3 + 12) * 9 V=72pierw3 + 108 cm^3

2. a) Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm^2. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.kwadrat rysunek do zadania : http://images47.fotosik.pl/248/ccde18893c1ea779med.jpg graniastosłup prawidłowy czworokątny zatem jeg podstawą jest pole podstawy jest równe 16 cm^2 P=a^2 a^2 = 16 a=4 cm obliczam długość d : d=apierw2 d=4pierw2 cm obliczam długość b : d^2 + b^2 = 9^2 (4pierw2)^2 + b^2 = 9^2 16 * 2 + b^2 = 81 32 + b^2 = 81 b^2 = 81 - 32 b^2 = 49 b=7 Obliczam objętość V=a^2 * b V=4^2 * 7=16 * 7 = 112 cm^3 b) Przekątna graniastoslupa prawidłowego czworokątnego ma dlugość 25 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt "a" taki, że sin(a) = 0,96. Oblicz objętość tego graniastosłupa rysunek do zadania : http://images37.fotosik.pl/243/537c85193575e1f2med.jpg sin(a) = 0,96 0,96 = d/25 0,96 * 25 = d d=24 obliczam a z twierdzenia Pitagorasa : a^2 + d^2 = 25^2 a^2 + 24^2 = 25^2 a^2 + 576 = 625 a^2 = 625 - 576 a^2 = 49 a=7 obliczam b z twierdzenia Pitagorasa: a^2 + b^2 = d^2 7^2 + b^2 = 24^2 49 + b^2 = 576 b^2 = 576 - 49 b^2 = 527 b=pierw(527) Obliczam objętość : V= a^2 * b V=7^2 * pierw(527) V=49pierw(527)

3. Dlugości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 2 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu, jeśli jego objętość jest równa 216 cm^3. krawędzie podstawy - a i b wysokość prostopadłościanu - c tworzą ciąg gometryczny o pierwszym wyrazie równym 2 cm zatem a=2 cm b=2q cm c=2q^2 cm objętość jest równa 216 cm^3 V=a * b * c 216 = 2 * 2q * 2q^2 216=8q^3 /:8 q^3 = 27 q=3 a=2 b=2 * 3 = 6 c=2 * 3^2 = 2 * 9=18 pole powierzchni całkowitej : Pc=2ab + 2ac + 2bc Pc=2 * 2 * 6 + 2 * 2 * 18 + 2 * 6 * 18 Pc = 24 + 72 + 216 Pc=312 cm^2

4. Do jednokrotnego pomalowania powierzchni bocznych pięciu identycznych kolumn mających kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędx podstawy jest równa 40 cm, zużyto 6 litrów farby. Jeden litr farby wystarcza na pokrycie 8 cm^2 powierzchni. Oblicz objętość kolumny. czy napewno jeden litr farby starsa na 8 cm^2 powierzchni ????

pozostałe zadania później ;)

5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie sinx= m^2 - 4m + 4,0stopni czy to rzeczywiście powinno być jak jest tzn na końcu 4,0stopni ??

2. W rombie o boku a =26 długość dłuższej przekątnej jest równa 40. Wyznacz sinus kąta ostrego. rysunek do zadania : http://images42.fotosik.pl/160/11e05ffbff5cc6famed.jpg a=26 e=40 z twierdzenia Pitagorasa oblicam f : (1/2 e)^2 + (1/2 f)^2 = a^2 (1/2 * 40)^2 + (1/2 f)^2 = 26^2 20^2 + 1/4 f^2 = 26^2 400 + 1/4 f^2 = 676 1/4 f^2 = 676 - 400 1/4 f^2 = 276 /* 4 f^2 = 1104 f=pierw(1104) f=4pierw(69) mogę teraz obliczyć wysokość h : P=e * f/2 P=a * h 40 * 4pierw(69) /2 = 26 * h 80pierw(69) = 26h /: 26 h= 40/13 pierw(69) obliczam sinus kąta ostrego : sin(alfa) = h/a sin(alfa) = 40/13 pierw(69) : 26 sin(alfa) = 40/13 pierw(69) * 1/26 sin(alfa) = 20/169 pierw(69)

4. Dane sa cztery liczby ustawione w ciag. Trzy pierwsze tworza ciag geometryczny, a trzy ostatnie arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej liczby jest rowna 35, a suma drugiej i trzeciej liczby jest rwona 30. Wyznacz te liczby. dane są cztery liczby ustawione w ciąg : a,b,c,d suma pierwszej i czwartej liczby jest rowna 35 : a + d = 35 d= 35 -a suma drugiej i trzeciej liczby jest równa 30 b + c = 30 c = 30 - b czyli mamy liczby a, b , 30-b , 35-a trzy ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny : b, 30-b, 35-a (30-b) - b = (35-a) - (30-b) 30 -b -b = 35 -a - 30 + b 30 - 2b = 5 - a + b a = 5 + b - 30 + 2b a = 3b - 25 trzy pierwsze tworzą ciąg geometrycny : a,b, 30-b b/a = (30-b)/b b * b = (30-b) * a podstawiam a=3b - 25 b^2 = (30-b)(3b-25) b^2 = 90b - 3b^2 - 750 + 25b b^2 = -3b^2 + 115b - 750 4b^2 - 115b + 750 = 0 delta=(-115)^2 - 4 * 4 * 750 = 1225 pierw(delta)= 35 b1=(115-35)/8 =10 b2= (115 +35)/8=18,75 mamy dwa przypadki 1) a=3b-25=3 * 10 - 25 = 5 b=10 c=30-b=30-10=20 d=35-a=35-5=30 2) a=3b - 25 = 3 * 18,75 - 25 = 31,25 b=18,75 c=30-b=30-18,75=11,25 d=35-a=35-31,25=3,75

3.Pierwszy, siodmy i trzydziesty pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego są równe odpowiednio pierwszemu, drugiemu i trzeciemu wyrazowi ciagu geometrycznego. Pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest rowny 4. Wyznacz sume poczatkowych 30 wyrazow tego ciągu. mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 4 wtedy drugi wyra to będzie 4+r, trzeci to 4+2r, czwarty 4+3r itd pierwszy wyraz to 4 siódmy wyraz to 4+6r trzydziesty wyraz to 4+29r są one odpowiednio równe pierwszemu drugiemu i trzeciemu wyrazowi ciagu geometrycznego, czyli ciąg ten będzie się zaczynak następująco : 4, 4+ 6r, 4 + 29r (4+6r)/4 = (4 + 29r) / (4+ 6r) mnożę na krzyż (4 + 6r)(4 + 6r) = 4(4 + 29r) 16 + 24r + 24r + 36r^2 = 16 + 116r 36r^2 + 48r + 16 = 16 + 116r 36r^2 + 48r + 16 - 16 - 116r=0 36r^2 - 68r=0 r(36r-68)=0 r=0 lub 36r - 68 = 0 36r = 68 /: 36 r= 17/9 zatem mamy dwa przypadki : a1=4 i r=0 S30 = (a1 + a30)/2 * 30 S30=(4 + 4)/2 * 30 S30 = 8/2 * 30 S30 = 4 * 30 S30=120 a1=4 i r=17/9 a30=a1 + 29r a30 = 4 + 29 * 17/9 = 529/9 S30=(a1 + a30)/2 * 30 S30=(4 + 529/9) * 15 S30 = 565/9 * 15 S30 = 2825/3

6. Wyznacz sume wszystkich ulamkow postaci 1/3^n dla n < 8 oraz sume wszystkich ulamkow postaci n/3 dla n < 8. Wyznacz roznice tych sum. suma ułamków postaci 1/3^2 dla n < 8 dla n=1 to 1/3 dla n=2 to 1/9 dla n=3 to 1/27 czyli jest to ciąg geometryczny gdzie a1=1/3 i q=1/3 obliczam sumę siedmiu początkowych wyrazów Sn=a1 * (1-q^n)/(1-q) S7=1/3 * [1-(1/3)^7 ]/(1-1/3) S7 = 1/3 * (1 - 1/2187)/(2/3) S7 = 1/3 * 2186/2187 * 3/2 S7 = 1093/2187 suma ułamków postaci n/3 gdy n=1 to 1/3 n=2 to 2/3 n=3 to 3/3 czyli jest to ciąg arytmetyczny gdzie a1=1/3 i r=1/3 Sn=(a1 + an)/2 * n S7=(1/3 + 7/3)/2 * 7 S7=8/3 * 1/2 * 7 S7 = 28/3 różnica tych sum : 1093/2187 - 28/3 = 1093/2187 - 20412/2187 = -19319/2187

9.Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciagu geometrycznego jest rowna 48, a suma drugiego wyrazu i piatego jest rowna 24. suma pierwszego i czwartego wyrazu jest równa 48 a1 + a4 = 48 jest to ciąg geometryczny zatem a4=a1 * q^3 czyli mamy a1 + a1 * q^3 = 48 suma drugieg i piątego wyrazu jest równa 24 a2 + a5 = 24 ale a2=a1 * q oraz a5=a1 * q^4 a1 * q + a1 * q^4 = 24 robię układ równań a1 + a1 * q^3 = 48 a1 * q + a1 * q^4 = 24 a1(1 + q^3) = 48 a1 * q(1 + q^3) = 24 (1+q^3) = 48/a1 a1 * q(1 + q^3) = 24 zajmę się tylko drugim równaniem a1 * q(1 + q^3) = 24 a1 * q * 48/a1 = 24 48q = 24 /: 48 q=1/2 (1+q^3) = 48/a1 (1 + (1/2)^3 ) = 48/a1 (1 + 1/8) = 48/a1 9/8 = 48/a1 mnożę na krzyż 9a1 = 8 * 48 9a1 = 384 /: 9 a1 = 42 i 2/3 a).wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciagu a1 = 42 i 2/3 q=1/2 b).podaj wzor na ogolny wyraz tego ciagu an=a1 * q^(n-1) an = 42 i 2/3 * (1/2)^(n-1) an = 128/3 * (1/2)^(n-1) an = 128/3 * (1/2)^n * (1/2)^(-1) an = 128/3 * (1/2)^n * 2 an = 256/3 * (1/2)^n c).oblicz sume osmiu poczatkowych wyrazow ciagu Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q) S8=128/3 * [ 1 - (1/2)^8 ]/(1-1/2) S8=128/3 * (1-1/256)/(1/2) S8 = 128/3 * 255/256 * 2 S8=85

10.Suma szostego i dziesiatego wyrazu ciagu arytmetycznego jest rowna 52, a roznica kwadratu dziesiatego wyrazu i kwadratu szostego wyrazu jest rowna 624. a). wyznacz pierwszy wyraz i roznice tego ciagu b). podaj wzor na ogolny wyraz tego ciagu c). oblicz, ile poczatkowych wyrazow ciagu daje w sumie 735. suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 52 zatem a6 + a10 = 52 ale jest to ciąg arytmetyczny zatem a6=a1+5r a10=a1+9r podstawiamy : a1 + 5r + a1 + 9r = 52 2a1 + 14r = 52 roznica kwadratu dziesiatego wyrazu i kwadratu szostego wyrazu jest rowna 624 a10 ^2 - a6 ^2 = 624 (a10 - a6)(a10 + a6) = 624 ile wynosi ich suma już wiemy (a10 - a6) * 52 = 624 /: 52 a10 - a6 = 12 podstawiając czym jest a10 i a6 otrzymamy : a1 + 9r - (a1 + 5r) = 12 a1 + 9r - a1 - 5r = 12 4r=12 :4 r=3 wracam do poprzedniego równania o sumie : 2a1 + 14r = 52 2a1 + 14 * 3 = 52 2a1 + 42 = 52 2a1 = 52-42 2a1 = 10 /:2 a1=5 a). wyznacz pierwszy wyraz i roznice tego ciagu a1=5 r=3 b). podaj wzor na ogolny wyraz tego ciagu an = a1 + (n-1) * r an = 5 + (n-1)* 3 an = 5 + 3n - 3 an = 3n +2 c). oblicz, ile poczatkowych wyrazow ciagu daje w sumie 735. Sn = 735 Sn = (a1 + an)/2 * n 735 = (a1 + an)/2 * n /* 2 1470 = (a1 + an) * n podstawiam co mam juz dane 1470 = (5 + 3n +2)*n 1470=(3n+7)*n 1470=3n^2 + 7n 3n^2 + 7n - 1470 = 0 delta=7^2 - 4 * 3 * (-1470)=49 + 17640 = 17689 pierw(delta)= 133 n1=(-7-133)/6=-140/6=- 23 i 1/3 ale to odpada bo n musi byc liczbą naturalną n2=(-7+133)/6=126/6=21 21 wyrazów

później znowu będę rozwiązywać 6. Wyznacz sume wszystkich ulamkow postaci 1/3^n dla n jeśli używasz znaku < albo > to przed tym znaczkiem i za nim postaw spację inaczej utnie część tekstu