zadaniazmatematyki

up ;)

up ;)

1. Trzy zespoły robotników pracując równocześnie wykonują pewną pracę w ciągu jednego dnia. Pierwszy zespół wykonałby te prace samodzielnie o jeden dzień wcześniej niż drugi, a trzeci o 4 dni później niż pierwszy. W ile dni wykonałby tę pracę każdy z zespołów pracując samodzielnie? czas wykonania pracy przez 1 zespół = x-1 dni czas wykonania pracy przez 2 zespół = x dni czas wykonania pracy przez 3 zespół = x-1+4=x+3 dni założenie x > 1 skoro zespół wykonuje pracę w x dni, to w ciągu jednego dnia wykona 1/x pracy, w ciągu dwóch dni wykona 2/x pracy, ..., 3/x, 4/x itd 1 - czas wykonywania pracy przez zespoły gdy pracują razem wykonują całą pracę czyli =1 1/(x-1) + 1/x + 1/(x+3) = 1 /* x(x-1)(x+3) x(x+3) + (x-1)(x+3) + x(x-1) = x(x-1)(x+3) x^2 + 3x + x^2 - x + 3x - 3 + x^2 - x = x(x^2 - x + 3x - 3) 3x^2 + 4x -3 = x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x 3x^2 + 4x - 3 = x^3 + 2x^2 - 3x przenosząc wszystko na jedną stronę x^3 - x^2 - 7x + 3 = 0 pierwiastkiem tego równania jest liczba 3 (x^3 - 3x^2) + (2x^2 - 6x) + (-x+3) = 0 x^2(x-3) + 2x(x-3) - (x-3) = 0 (x-3)(x^2 + 2x -1) = 0 x-3=0 x=3 x^2 + 2x - 1=0 delta=4+4=8 pierw(delta)=2pierw2 x1=(-2-2pierw2)/2=-1 - pierw2 < 1 x2=(-2+2pierw2)/2 = -1 + pierw2 < 1 zatem x=3 czas wykonania pracy przez 1 zespół = x-1 dni czyli 2 dni czas wykonania pracy przez 2 zespół = x dni czyli 3 dni czas wykonania pracy przez 3 zespół = x-1+4=x+3 dni czyli 6 dni

up

mam zadania ze stereometrii, ale są do nich rysunki więc nie wiem czy takie też mogę? i czy rysunki jakoś, nie wiem przerysować? jasne, można z każdym zadaniem, tylko linki podaje się do rysunków albo zawikłanych zapisów, bo wiele osób idzie na łatwiznę i wrzucają mi skan kilku-kilkunastu zadań co dla mnie jest utrudnieniem... możesz przerysować rysunki, zrobić ich skan, zrobić zdjęcia wrzucić w internet (np na fotosik.pl ) i podać link

w oczekiwaniu na zadania...

up

up ;)

1. Rozwiąż układ równań i podaj interpretacje geometryczną tego układu : interpretacji geometrycznej Ci nie podam, bo tu trzeba narysować wykresy wzorów które należą do układu równań i przecięcie obu wykresów będzie rozwiązaniem zatem tylko rozwiążę algebraicznie układy równań a) y = 2 y = 1/2x^2 2=1/2 x^2 /* 2 4=x^2 x=2 lub x=-2 A(2,2) B(-2,2) b) y = 3/4 (x-2) ^2 - 3 y = -3/2x -3/2 x = 3/4 (x-2)^2 -3 -3/2 x = 3/4 (x^2 - 4x + 4) - 3 /*4 -6x = 3(x^2 - 4x + 4) - 12 -6x = 3x^2 - 12x + 12 - 12 -6x = 3x^2 - 12x 3x^2 - 12x + 6x=0 3x^2 - 6x = 0 3x(x-2)=0 3x=0 x=0 wtedy y=-3/2 x= -3/2 * 0=0 A(0,0) x-2=0 x=2 wtedy y=-3/2 x= -3/2 * 2 = -3 B(2,-3) c) y = x^3 y = -3x^2 +3 x^3 = -3x^2 + 3 x^3 + 3x^2 - 3 = 0 co do tego przykładu to tu chyba nie ma pierwiastków wymiernych rozwiązanie można wskazać jedynie na wykresie rysując obie funkcje, ale konkretnej odpowiedzi raczej się nie poda (co innego gdyby tam było np. +2 zamiast +3) d) y = 1-x^2 y = -2x (x+1) 1-x^2 = -2x(x+1) 1-x^2 = -2x^2 - 2x 1 - x^2 + 2x^2 + 2x = 0 x^2 + 2x + 1 = 0 (x+1)^2 = 0 x+1=0 x=-1 y=1-x^2=1-(-1)^2 = 1-1=0 A(-1,0) 2. Rozwiąż układ równań : a) x^2 + y = 3 2x + y = 4 x^2 + y = 3 y=4-2x x^2 + (4-2x) = 3 x^2 + 4 - 2x = 3 x^2 - 2x + 4 -3=0 x^2 - 2x + 1=0 (x-1)^2=0 x-1=0 x=1 y=4-2x = 4 - 2 * 1 = 4-2=2 A(1,2) b) y = x^2 + 6x + 9 y = 100 x^2 + 6x + 9 = 100 (x+3)^2 = 10^2 rozbijamy to na dwa równania bo mamy parzystą potęgę x+3=10 x=10-3 x=7 A(7,100) x+3=-10 x=-10-3 x=-13 B(-13,100) c) x^2 - 4x +y = 0 x(x-4) - y = 0 d) x^2 + y^2 + 2x + 6y - 6 = 0 x = -5 (-5)^2 + y^2 + 2 * (-5) + 6y - 6 =0 25 + y^2 - 10 + 6y - 6=0 y^2 + 6y + 9 =0 (y+3)^2 = 0 y+3=0 y=-3 A(-5,-3) e) x^2 + y^2 = 10 y = 5 - 2x x^2 + (5-2x)^2 = 10 x^2 + 25 - 20x + 4x^2 = 10 5x^2 - 20x + 25 = 10 5x^2 - 20x + 25 -10 = 0 5x^2 - 20x + 15=0 /:5 x^2 - 4x + 3=0 delta=(-4)^2 - 4 * 1 * 3=16-12=4 pierw(delta)=2 x1=(4-2)/2=2/2=1 wtedy y=5-2x=5-2 * 1 = 5-2=3 A(1,3) x2=(4+2)/2=6/2=3 wtedy y=5-2x=5 - 2 * 3=5-6=-1 B(3,-1) f) xy = -1 2x + y = 1 xy= -1 y=1- 2x x(1-2x) = -1 x - 2x^2 = -1 -2x^2 + x +1 =0 delta=1^2 - 4 * (-2) * 1 = 1 + 8 = 9 pierw(delta)=3 x1=(-1-3)/(-4)=(-4)/(-4)=1 wtedy y=1-2x = 1-2 * 1 =1-2=-1 A(1,-1) x2=(-1+3)/(-4)=2/(-4)=-1/2 wtedy y=1-2x = 1-2 * (-1/2) = 1+1=2 B(-1/2 ,2)

e) x / (x-2) - 2 / (x+3) = 10 /(x - 2)(x+3) dziedzina : x-2 różne 0 x różne 2 x+3 różne 0 x różne -3 x należy do R - {-3,2} x/(x-2) - 2/(x+3) = 10/ wspólny mianownik : - = 10/ x(x+3) - 2(x-2) = 10 x^2 + 3x - 2x + 4 = 10 x^2 + x + 4 = 10 x^2 + x + 4 -10=0 x^2 + x - 6=0 delta=1^2 - 4 * 1 * (-6)=1+24=24 pierw(delta)=5 x1=(-1-5)/2=-6/2=-3 nie należy do dziedziny x2=(-1+5)/2=4/2=2 nie należy do dziedziny zatem brak rozwiązania ;)

chętnie porozwiązuję jakieś zadania ;)

up

4. Pewną liczbę wymierną można przedstawić w postaci n/(33-n), gdzie n (nalezy) {1,2, ....,32}. Gdy powiększymy licznik tego ułamka o 39, a mianownik o 20, to podwoimy wartość tego ułamka. Wyznacz ten ułamek. licznik - n mianownik - 33-n gdy powiększymy licznik o 39 to będzie on równy n+39 a mianownik o 20 to będzie on równy 33-n + 20 = 53 - n zatem ten ułamek będzie miał postać (n+39)/(53-n) to podwoimy wartość tego ułamka zatem: (n+39)/(53-n) =2 * n/(33-n) (n+39)/(53-n)= 2n/(33-n) mnożymy na krzyż (n+39)(33-n) = 2n(53-n) 33n - n^2 + 1287 - 39n= 106 n - 2n^2 -n^2 - 6n + 1287 = -2n^2 + 106n -n^2 + 2n^2 - 6n - 106n + 1287 = 0 n^2 - 112n + 1287=0 delta=(-112)^2 - 4 * 1 * 1287 = 12544 - 5148 = 7396 pierw(delta)=86 n1=(112-86)/2 = 26/2=13 n2=(112+86)/2=198/2=99 ale to nie należy do zbioru {1,2,3,...,32} ten ułamke to : 13/20

2. Statek, którego szybkość własna jest równa 30 km/h, przepływa 550 km z prądem rzeki w takim samym czasie co płynąc 450 km pod prąd. Oblicz średnią szybkość prądu rzeki. prędkość statku - 30 km/h prędkość prądu rzeki - x km/h gdy plyniemy z prądem rzeki nasza prędkość zrasta o prąd rzeki, czyli wynosi 30+x km/h gdy plyniemy pod prąg nasza prędkość maleje o prąd rzeki, czyli wynosi 30-x km/h predkość nie może być ujemna zatem : 30-x> 0 -x > -30 x< 30 znamy czas, zatem wykorzystamy wzór t=s/V taki sam czas zatem : 550/(30+x) = 450/(30-x) mnożymy na krzyż 550(30-x) = 450(30+x) /: 50 11(30-x) = 9(30+x) 330 - 11x = 270 + 9x -11x - 9x = 270 - 330 -20x = -60 /: (-2) x=3 km/h

1. Rozwiąż równanie : a) 1/x + x / (x+2) = 1 najpierw dziedzina : x różne 0 x+2 różne 0 x różne -2 x należy do R - {-2,0} 1/x + x/(x+2) = 1 sprowadzamy do wspólnego mianownika + [x * x]/ = 1 (x+2)/ + =1 dodajemy (x+2+x^2)/ = 1 mnożymy na krzyż x^2 + x + 2 = x(x+2) x^2 + x + 2 = x^2 + 2x x^2 + x - x^2 - 2x = -2 -x = -2 /: (-1) x=2 należy do dziedziny zatem jest rozwiazaniem ;) b) x / (x+1) + x / (x-2) = 2 dziedzina : x+1 różne 0 x różne -1 x-2 różne 0 x różne 2 x należy do R - {-1,2} x/(x+1) + x/(x-2) = 2 wspólny mianownik : + = 2 (x^2 - 2x)/ + (x^2 + x)/ = 2 dodajemy (x^2 -2x + x^2 + x)/ = 2 mnożymy na krzyż x^2 - 2x + x^2 + x = 2(x+1)(x-2) 2x^2 -x = 2(x^2 + x - 2x - 2) 2x^2 -x = 2(x^2 -x -2) 2x^2 - x = 2x^2 - 2x - 4 2x^2 - x - 2x^2 + 2x = -4 x=-4 należy do dziedziny zatem jest rozwiazaniem c) 6/x - 2/(x-1) = 1 dziedzina : x różne 0 x-1 różne 0 x różne 1 x należy do R - {0,1} 6/x - 2/(x-1) = 1 wspólny mianownik - [2 * x]/ = 1 (6x-6)/ - (2x)/ = 1 odejmujemy (6x-6-2x)/ = 1 mnożymy na krzyż 6x - 6 - 2x = x(x-1) 4x - 6 = x^2 - x x^2 - x - 4x + 6=0 x^2 - 5x + 6=0 delta=(-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24=1 pierw(delta)=1 x1=(5-1)/2=4/2=2 należy do dziedziny x2=(5+1)/2=6/2=3 należy do dziedziny d) 1/ (x-1) + 1/ (x+2) = 3 / (x-1)(x+2) dziedzina : x-1 różne 0 x różne 1 x+2 rożne 0 x różne -2 x należy do R - {-2,1} 1/ (x-1) + 1/ (x+2) = 3 / wspólny mianownik (x+2)/ + (x-1)/ = 3/ (x+2) + (x-1) = 3 x + 2 + x - 1 = 3 2x + 1 = 3 2x = 3-1 2x=2 /:2 x=1 nie należy do dziedziny zatem brak rozwiazania e) x / (x-2) - 2 / (x+3) = 10 (x - 2)(x+3) czy tu nie powinno być 10/(x-2)(x+3) ???

up

7. Jaka to liczba dwucyfrowa, ktorej suma cyfr jest równa 9, a wynik mnożenia tej liczby przez liczbę o przestawionych cyfrach jest równy 2268. x - cyfra dziesiątek y - cyfra jedności suma cyfr jest równa 9 zatem : x + y = 9 y = 9-x skoro liczba ma cyfrę dziesiątek x a cyfrą jedności y to można ją zapisać jako 10x + y (np 52 = 10 * 5 + 2, 78=10 * 7 + 8) liczba o przestawionych cyfrach to będzie wtedy 10y + x wynik mnożenia tej liczby przez liczbę o przestawionych cyfrach jest równy 2268. czyli : (10x + y)* (10y + x)=2268 podstawiam do tego równania wyliczonego y względem zmiennej x : (10x + 9 -x)*(90 - 10x + x)= 2268 (9x + 9)(90-9x)= 2268 810x + 810 - 81x^2 - 81x = 2268 -81x^2 + 729x + 810 - 2268 = 0 -81x^2 + 729 -1458 =0 /: (-81) x^2 - 9x + 18 = 0 delta=(-9)^2 - 4 * 1 * 18= 81 - 72 = 9 pierw(delta)=3 x1=(9-3)/2=6/2=3 wtedy y=9-3=6 i ta liczba to 36 x2=(9+3)/2=12/2=6 wtedy y=9-6=3 i ta liczba to 63

6. Różnica między licznikiem i mianownikiem pewnego ulamka jest równa 82. Jeżeli do licznika dodamy kwadrat liczby 3, a do mianownika kwadrat liczby 4, to otrzymamy ułamek równy kwadratowi liczby 2. Wyznacz ten ułamek. różnica między licznikiem a mianownikiem jest równa 82 x - licznik y - mianownik zatem : x - y = 82 x = 82 + y ten ułamek wyglądałby x/y podstawiając to co policzyłam wygląda następująco : (82+y)/y jeżeli do licznika dodamy kadrat liczby 3 a do mianownika dodamy kwadrat liczby 4 czyli będzie wyglądał następująco (82 + y + 3^2 ) / ( y + 4^2) to otrzymamy ułamek równy kwadratowi liczby 2. zatem : (82 + y + 9)/(y + 16) = 2^2 (91 +y)/(y+16)=4 mnożymy na krzyż 91 + y = 4(y + 16) 91 + y = 4y + 64 y - 4y = 64 - 91 -3y = -27 /: (-3) y=9 wracam do x : x = 82 + y x = 82 + 9 x=91 ten ułamek to 91/9

5. Mianownik dodatniego ulamka jest o 3 razy większy od jego licznika. Jeżeli licznik ułamka zwiększymy o 4, a mianownik zmniejszymy o 2, to otrzymujemy 14/5 wartości ułamka. Wyznacz ten ułamek. mianownik ma być o 3 większy, czy 3 razy większy ? popraw to rozwiążę ;)

4. Franek ma 15 lat, a jego tata Jan ma o 25 lat więcej. Jego tata ma zatem 15+25 = 40 lat a) Oblicz ile razy tata Franka jest od niego starszy 40/15=8/3=2 i 2/3 razy starszy b) Podaj wzór pozwalający obliczyć ile razy tata Franka będzie od niego starszy po uplywie t lat, gdzie t większe,rowne 0. za t lat Franek będzie miał 15+t lat za t lat tata Jan będzie miał 40+t wzór (40+t)/(15+t) c) Oblicz za ile lat tata Franka będzie od niego starszy dwa razy. x - za tyle lat wtedy franek będzie miał 15+x lat a tata Jan będzie miał 40+x tata ma być dwa razy starszy zatem : 2(15+x)= 40+x 30 + 2x = 40 + x 2x - x = 40 -30 x = 10 za 10 lat ;)

3. Skrajnymi wyrazami proporcji są liczby 9 i 32, a suma wyrazów środkowych jest równa 34. Oblicz wyrazy środkowe. skrajne wyrazy proporcji to liczby 9 i 32 zatem zapiszemy tą proporcję 9/x = y/32 przemnażam na krzyż 9 * 32 = x * y suma wyrazów środkowych (czyli x i y) jest równa 34 zatem x+y=34 x= 34-y podstawiam to do równania wynikającego z proporcji 9 * 32 = (34 -y) * y 288 = 34 y - y^2 y^2 - 34y + 288=0 delta=(-34)^2 - 4 * 1 * 288 = 1156 - 1152=4 pier(delta)=2 y1=(34-2)/2=32/2=16 wtedy x1=34-16=18 y2 = (34+2)/2 = 36/2=18 wtedy x2 = 34-18=16 wyrazy środkowe to 18 i 16 albo 16 i 18

2. Rowerzysta przejechał trasę pomiędzy Gdańskiem i Sopotem tam i z powrotem. Droge do Sopotu pokonał ze średnią szybkością 30 km/h, a drogę z powrotem ze średnią szybkością 20 km/h. Oblicz, z jaką średnią szybkością jechał rowerzysta na trasie Gdanńsk - Sopot - Gdańsk. prędkość do Sopotu - 30 km/h prędkość do Gdańska - 20 km/h średnia prędkość : (30+20)/2 = 50/2=25 km/h

1. Rozwiąż równanie: a) 243x^3 - 1 = 0 243x^3 = 1 /: 243 x^3 = 1/243 x= pierw(1/243) x=1/pierw(243) x=pierw(243^2)/243 b) 5x^3 + 525 = 0 /:5 x^3 + 105 =0 x^3 = -105 x= pierw (-105) x=-pierw(105) c) (x+1)^3 = 27 (x+1)^3 = 3^2 x+1 = 3 x = 3-1 x=2 d) (4x-1)^3 = 729 (4x-1)^3 = 9^3 4x-1 = 9 4x = 9+1 4x = 10 /:4 x=2,5 e) (x^2 + x - 6)^2 = 196 (x^2 + x - 6)^2 = 14^2 rozbijamy to na dwa równania bo mamy potęgę parzystą 1) x^2 + x - 6 = 14 x^2 + x - 6 -14=0 x^2 + x - 20=0 delta=1^2 - 4 * 1 * (-20)= 1 + 80 =81 pierw(delta)=9 x1=(-1-9)/2=(-10)/2=-5 x2=(-1+9)/2=8/2=4 2) x^2 + x - 6 = -14 x^2 + x - 6 + 14=0 x^2 + x + 8=0 delta=1^2 - 4 * 1 * 8=1 - 32=-31 delta

Dane są długości boków: |BC| =5 i |AC| =3 trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym Beta wtedy: a) sin beta = 3/5 b) sin beta = 4/5 c) sin beta = 3 pierwiastek z 34/34 d) sin beta= 5 pierwiastka z 34/34 Kąt beta znajduje się przy wierzchołku B Kąt prosty jest przy wierzchołku C. Przepraszam za komplikacje;p rysunek do zadania: http://images42.fotosik.pl/152/fb9b2ab4be251570med.jpg brakuje przeciwprostokątnej : 3^2 + 5^2 = x^2 9 + 25 = x^2 x^2= 34 x=pierw(34) sin(beta) = 3/pierw(34)=3pierw(34)/34 odp C

up